Representación de permutación

En matemáticas , el término representación de permutación de un grupo (típicamente finito)${\displaystyle G}$puede referirse a cualquiera de dos nociones estrechamente relacionadas: una representación de${\displaystyle G}$como un grupo de permutaciones o como un grupo de matrices de permutación . El término también se refiere a la combinación de ambos.

Una representación de permutación de un grupo${\displaystyle G}$en un plató${\displaystyle X}$es un homomorfismo de${\displaystyle G}$al grupo simétrico de${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Sym} (X).}$

La imagen${\displaystyle \rho (G)\subset \operatorname {Sym} (X)}$es un grupo de permutaciones y los elementos de${\displaystyle G}$están representados como permutaciones de${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]} Una representación de permutación es equivalente a una acción de${\displaystyle G}$en el set${\displaystyle X}$:

${\displaystyle G\times X\to X.}$

Consulte el artículo sobre acciones colectivas para obtener más detalles.

Si${\displaystyle G}$es un grupo de permutación de grado${\displaystyle n}$, entonces la representación de permutación de${\displaystyle G}$es la representación lineal de${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} _{n}(K)}$

qué mapas${\displaystyle g\in G}$a la matriz de permutación correspondiente (aquí${\displaystyle K}$es un campo arbitrario ). ^{[ 2 ]} Es decir,${\displaystyle G}$actúa en${\displaystyle K^{n}}$mediante la permutación de los vectores base estándar.

Esta noción de representación de permutación puede, por supuesto, combinarse con la anterior para representar un grupo abstracto arbitrario.${\displaystyle G}$como un grupo de matrices de permutación. Una primera representa${\displaystyle G}$como un grupo de permutaciones y luego asigna cada permutación a la matriz correspondiente. Representando${\displaystyle G}$como un grupo de permutaciones que actúa sobre sí mismo mediante traslación , se obtiene la representación regular .

Dado un grupo${\displaystyle G}$y un conjunto finito${\displaystyle X}$con${\displaystyle G}$actuando en el set${\displaystyle X}$entonces el personaje${\displaystyle \chi }$de la representación de permutación es exactamente el número de puntos fijos de${\displaystyle X}$bajo la acción de${\displaystyle \rho (g)}$en${\displaystyle X}$. Eso es${\displaystyle \chi (g)=}$el número de puntos de${\displaystyle X}$arreglado por${\displaystyle \rho (g)}$.

Esto se deduce ya que, si representamos el mapa${\displaystyle \rho (g)}$con una matriz con base definida por los elementos de${\displaystyle X}$obtenemos una matriz de permutación de${\displaystyle X}$Ahora bien, el carácter de esta representación se define como la traza de esta matriz de permutación. Un elemento en la diagonal de una matriz de permutación es 1 si el punto en${\displaystyle X}$es fijo, y 0 en caso contrario. Por lo tanto, podemos concluir que la traza de la matriz de permutación es exactamente igual al número de puntos fijos de${\displaystyle X}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle G=S_{3}}$y${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$El carácter de la representación de permutación se puede calcular con la fórmula${\displaystyle \chi (g)=}$el número de puntos de${\displaystyle X}$arreglado por${\displaystyle g}$. Entonces

${\displaystyle \chi ((12))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=1}$ya que solo 3 está fijo

${\displaystyle \chi ((123))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}})=0}$como ningún elemento de${\displaystyle X}$son fijos y

${\displaystyle \chi (1)=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=3}$como cada elemento de${\displaystyle X}$Está arreglado.

• https://mathoverflow.net/questions/286393/how-do-i-know-if-an-irreducible-representation-is-a-permutation-representation