Fórmula de Perron

En matemáticas , y más particularmente en la teoría analítica de números , la fórmula de Perron es una fórmula descubierta por Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética , mediante una transformada inversa de Mellin . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \{a(n)\}}$Sea una función aritmética y sea

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

Sea la serie de Dirichlet correspondiente . Supongamos que la serie de Dirichlet es uniformemente convergente para${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$Entonces, la fórmula de Perron es

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}\,dz.}$

Aquí, la prima en la sumatoria indica que el último término de la suma debe multiplicarse por 1/2 cuando x es un entero . La integral no es una integral de Lebesgue convergente ; se entiende como el valor principal de Cauchy . La fórmula requiere que c > 0, c > σ y x > 0.

Un esbozo sencillo de la demostración se obtiene tomando la fórmula de suma de Abel.

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Esto no es más que una transformada de Laplace bajo el cambio de variable.${\displaystyle x=e^{t}.}$Invirtiéndola se obtiene la fórmula de Perron.

Las demostraciones de la fórmula de Perron han sido publicadas por Tom M. Apostol ^{[ 2 ]} y por Gérald Tenenbaum . ^{[ 3 ]}

Debido a su relación general con las series de Dirichlet, la fórmula se aplica comúnmente a muchas sumas de teoría de números. Así, por ejemplo, se tiene la famosa representación integral para la función zeta de Riemann :

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

y una fórmula similar para las funciones L de Dirichlet :

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

dónde

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

y${\displaystyle \chi (n)}$es un carácter de Dirichlet . Otros ejemplos aparecen en los artículos sobre la función de Mertens y la función de von Mangoldt .

La fórmula de Perron es un caso especial de la fórmula

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}$

dónde

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

y

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}$

la transformada de Mellin. La fórmula de Perron es un caso especial de la función de prueba.${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1),}$para${\displaystyle \theta (x)}$la función escalón de Heaviside .

• Weisstein, Eric W. "La fórmula de Perron" . MundoMatemático .
• Moreta, Jose Javier Garcia (2024), Convolución discreta de Mellin y sus extensiones, fórmula de Perron y fórmulas explícitas , General Science Journal, ISSN:1916-5382