Grupo de homología persistente

En homología persistente , un grupo de homología persistente es un análogo multiescala de un grupo de homología que captura información sobre la evolución de características topológicas a través de una filtración de espacios. Mientras que el grupo de homología ordinario representa clases de homología no triviales de un espacio topológico individual , el grupo de homología persistente rastrea solo aquellas clases que permanecen no triviales a través de múltiples parámetros en la filtración subyacente. Análogo al número de Betti ordinario , los rangos de los grupos de homología persistente se conocen como números de Betti persistentes . Los grupos de homología persistente fueron introducidos por primera vez por Herbert Edelsbrunner , David Letscher y Afra Zomorodian en un artículo de 2002 Topological Persistence and Simplification , uno de los artículos fundamentales en los campos de la homología persistente y el análisis de datos topológicos , ^{[ 1 ]} basado en gran medida en los códigos de barras de persistencia y el algoritmo de persistencia, que fueron descritos por primera vez por Serguei Barannikov en el artículo de 1994. ^{[ 2 ]} Desde entonces, el estudio de los grupos de homología persistente ha dado lugar a aplicaciones en ciencia de datos , ^{[ 3 ]} aprendizaje automático , ^{[ 4 ]} ciencia de materiales , ^{[ 5 ]} biología , ^{[ 6 ] [ 7 ]} y economía . ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​un complejo simplicial y dejemos que${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$Sea una función monótona de valor real . Entonces, para algunos valores${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}\in \mathbb {R} }$los subconjuntos de nivel${\displaystyle K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]}$generar una secuencia de subcomplejos anidados${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$conocido como filtración de${\displaystyle K}$.

Aplicar${\displaystyle p^{th}}$La homología con cada complejo produce una secuencia de grupos de homología.${\displaystyle 0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)}$conectados por homomorfismos inducidos por los mapas de inclusión de la filtración subyacente. Cuando se toma la homología sobre un cuerpo , obtenemos una secuencia de espacios vectoriales y mapas lineales conocida como módulo de persistencia .

Dejar${\displaystyle f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})}$sea ​​el homomorfismo inducido por la inclusión${\displaystyle K_{i}\hookrightarrow K_{j}}$. Entonces el${\displaystyle p^{th}}$Los grupos de homología persistente se definen como las imágenes${\displaystyle H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$. En particular, el grupo de homología persistente${\displaystyle H_{p}^{i,i}=H_{p}(K_{i})}$.

Más precisamente, el${\displaystyle p^{th}}$El grupo de homología persistente puede definirse como${\displaystyle H_{p}^{i,j}=Z_{p}(K_{i})/\left(B_{p}(K_{j})\cap Z_{p}(K_{i})\right)}$, dónde${\displaystyle Z_{p}(K_{\bullet })}$y${\displaystyle B_{p}(K_{\bullet })}$son los grupos estándar de p-ciclo y p-límite, respectivamente. ^{[ 9 ]}

A veces los elementos de${\displaystyle H_{p}^{i,j}}$se describen como las clases de homología que "nacen" en o antes${\displaystyle K_{i}}$y que aún no han "muerto" entrando${\displaystyle K_{j}}$Estas nociones pueden precisarse de la siguiente manera. Una clase de homología${\displaystyle \gamma \in H_{p}(K_{i})}$Se dice que nació en${\displaystyle K_{i}}$si no está contenido en la imagen del grupo de homología persistente anterior, es decir,${\displaystyle \gamma \notin H_{p}^{i-1,i}}$. En cambio,${\displaystyle \gamma }$Se dice que muere al entrar${\displaystyle K_{j}}$si${\displaystyle \gamma }$se subsume (es decir, se fusiona con) otra clase más antigua a medida que la secuencia avanza desde${\displaystyle K_{j-1}\to K_{j}}$. Es decir,${\displaystyle f_{p}^{i,j-1}(\gamma )\notin H_{p}^{i-1,j-1}}$pero${\displaystyle f_{p}^{i,j}(\gamma )\in H_{p}^{i-1,j}}$La determinación de que una clase más antigua persista si se fusiona con una clase más joven, en lugar de al revés, se conoce a veces como la Regla del Anciano . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Los índices${\displaystyle i,j}$en la que una clase de homología${\displaystyle \gamma }$nace y muere entrando se conocen como los índices de nacimiento y muerte de${\displaystyle \gamma }$La diferencia${\displaystyle j-i}$se conoce como la persistencia del índice de${\displaystyle \gamma }$, mientras que la diferencia correspondiente${\displaystyle a_{j}-a_{i}}$en los valores de función correspondientes a esos índices se conoce como la persistencia de${\displaystyle \gamma }$. Si no existe ningún índice en el que${\displaystyle \gamma }$Cuando un elemento muere, se le asigna un índice de muerte infinito. Por lo tanto, la persistencia de cada clase puede representarse como un intervalo en la recta real extendida.${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$de cualquiera de las formas${\displaystyle [a_{i},a_{j})}$o${\displaystyle [a_{i}',\infty )}$Dado que, en el caso de un cuerpo infinito, el número infinito de clases siempre tiene la misma persistencia, la colección sobre todas las clases de tales intervalos no proporciona multiplicidades significativas para un multiconjunto de intervalos. En cambio, dichas multiplicidades y un multiconjunto de intervalos en la recta real extendida vienen dados por el teorema de estructura de la homología de persistencia . ^{[ 2 ]} Este multiconjunto se conoce como el código de barras de persistencia . ^{[ 12 ]}

Concretamente, el teorema de estructura establece que para cualquier complejo filtrado sobre un campo${\displaystyle F}$Existe una transformación lineal que preserva la filtración y convierte el complejo filtrado en la llamada forma canónica , una suma directa definida canónicamente de complejos filtrados de dos tipos: complejos bidimensionales con homología trivial.${\displaystyle d(e_{a_{j}})=e_{a_{i}}}$y complejos unidimensionales con diferencial trivial${\displaystyle d(e_{a'_{i}})=0}$. ^{[ 2 ]}

Geométricamente, un código de barras se puede representar como un conjunto múltiple de puntos (con coordenadas posiblemente infinitas).${\displaystyle (a_{i},a_{j})}$en el plano extendido${\displaystyle \left(\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\right)^{2}}$Según las definiciones anteriores, cada punto estará situado por encima de la diagonal, y la distancia a la diagonal es exactamente igual a la persistencia de la clase correspondiente veces.${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$Esta construcción se conoce como diagrama de persistencia y proporciona una forma de visualizar la estructura de la persistencia de las clases de homología en la secuencia de grupos de homología persistentes. ^{[ 1 ]}