Proyección de pétalos

En la teoría de nudos , una proyección de pétalos de un nudo es un diagrama de nudo con un único punto de intersección, donde convergen un número impar de arcos no anidados ("pétalos"). Dado que la relación de arriba a abajo entre las ramas de un nudo en este punto de intersección no es evidente a partir del diagrama, debe especificarse por separado, como una permutación que describe el orden de arriba a abajo de las ramas.

Cada nudo o enlace tiene una proyección de pétalos; el número mínimo de pétalos en dicha proyección define un invariante del nudo , el número de pétalos del nudo. Las proyecciones de pétalos se pueden usar para definir el modelo Petaluma , una familia de distribuciones de probabilidad sobre nudos con un número dado de pétalos, definidas mediante la elección de una permutación aleatoria para las ramas de un diagrama de pétalos.

Una proyección de pétalos es una descripción de un nudo como un tipo especial de diagrama de nudos, una curva bidimensional que se autocruza, formada al proyectar el nudo desde tres dimensiones hacia un plano. En una proyección de pétalos, este diagrama tiene un único punto de cruce, formando una rosa topológica . Cada dos ramas de la curva que pasan por este punto se cruzan allí; no se permiten ramas que se encuentren tangencialmente sin cruzarse. Los "pétalos" formados por arcos de la curva que parten de este punto de cruce y luego regresan a él son discos cerrados no anidados y delimitados, disjuntos excepto por su intersección común en el punto de cruce. ^{[ 1 ]}

Más allá de esta descripción topológica, la forma precisa de la curva es irrelevante. Por ejemplo, curvas de este tipo podrían representarse algebraicamente como ciertas curvas de rosa . Sin embargo, es común dibujar una proyección de pétalos utilizando segmentos de línea recta que pasan por el punto de intersección, conectados en sus extremos por curvas suaves para formar los pétalos. ^{[ 1 ]}

Para especificar la relación de arriba-abajo de las ramas de la curva en el punto de intersección, cada rama se etiqueta con un número entero, del 1 al número de ramas, que indica su posición en el ordenamiento de arriba hacia abajo de las ramas, tal como se vería desde un punto de vista tridimensional por encima del diagrama proyectado. La permutación cíclica de estos enteros, en el ordenamiento radial de las ramas alrededor del punto de intersección, puede utilizarse como una descripción puramente combinatoria de la proyección del pétalo. ^{[ 1 ]}

Para formar un nudo simple, en lugar de un enlace, la proyección de un pétalo debe tener un número impar de ramas en su punto de cruce. Todo nudo puede representarse como una proyección de pétalo, para diagramas con un número suficientemente grande de pétalos. El número mínimo posible de pétalos en la proyección de un pétalo de un nudo dado define un invariante del nudo llamado número de pétalo. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El modelo de Petaluma es una distribución aleatoria en los nodos, parametrizada por un número impar.${\displaystyle 2n+1}$de pétalos en un diagrama de pétalos, y definido mediante la construcción de un diagrama de pétalos con este número de pétalos utilizando una permutación aleatoria uniforme en sus ramas. ^{[ 3 ]}

Las proyecciones de pétalos y el modelo petaluma pueden generalizarse de nudos a enlaces. Sin embargo, para esta generalización, ya no es posible garantizar que todos los pétalos no estén anidados. En cambio, las proyecciones generalizadas de pétalos para enlaces tienen un tipo diferente de diagrama estándar que permite cierto anidamiento de los pétalos. ^{[ 3 ]}