Teorema de Peter-Weyl

En matemáticas , el teorema de Peter-Weyl es un resultado fundamental en la teoría del análisis armónico , aplicable a grupos topológicos compactos , pero no necesariamente abelianos . Fue demostrado inicialmente por Hermann Weyl , junto con su alumno Fritz Peter , en el contexto de un grupo topológico compacto G ( Peter y Weyl, 1927 ) . El teorema es un conjunto de resultados que generalizan los hechos significativos sobre la descomposición de la representación regular de cualquier grupo finito , descubiertos por Ferdinand Georg Frobenius e Issai Schur .

Sea G un grupo compacto. El teorema consta de tres partes. La primera establece que los coeficientes matriciales de las representaciones irreducibles de G son densos en el espacio C ( G ) de funciones continuas de valores complejos sobre G , y por lo tanto también en el espacio L² ( G ) de funciones ^de cuadrado integrable . La segunda parte afirma la reducibilidad completa de ^las representaciones unitarias de G. La tercera parte afirma que la representación regular de G sobre L² ( G ) se descompone como la suma directa de todas las representaciones unitarias irreducibles. Además, los coeficientes matriciales de las representaciones unitarias irreducibles forman una base ortonormal de L² ( G ). En el caso de que G sea el grupo de ^los números complejos unitarios, este último resultado es simplemente un resultado estándar de las series de Fourier .

Un coeficiente matricial del grupo G es una función de valor complejo.${\displaystyle \varphi }$en G dado como la composición

${\displaystyle \varphi =L\circ \pi }$

donde π  : G → GL( V ) es una representación de grupo ( continua ) de dimensión finita de G , y L es un funcional lineal en el espacio vectorial de endomorfismos de V (por ejemplo, la traza), que contiene a GL( V ) como un subconjunto abierto. Los coeficientes de la matriz son continuos, ya que las representaciones son continuas por definición, y los funcionales lineales en espacios de dimensión finita también son continuos.   

La primera parte del teorema de Peter-Weyl afirma ( Bump 2004 , §4.1 ; Knapp 1986 , Teorema 1.12 ):

Teorema de Peter-Weyl (Parte I). El conjunto de coeficientes matriciales de G es denso en el espacio de funciones complejas continuas C( G ) sobre G , equipado con la norma uniforme .

Este primer resultado se asemeja al teorema de Stone-Weierstrass, ya que indica la densidad de un conjunto de funciones en el espacio de todas las funciones continuas, sujeta únicamente a una caracterización algebraica . De hecho, los coeficientes de la matriz forman un invariante unitario de álgebra bajo conjugación compleja porque el producto de dos coeficientes de matriz es un coeficiente de matriz de la representación del producto tensorial, y el conjugado complejo es un coeficiente de matriz de la representación dual. Por lo tanto, el teorema se deduce directamente del teorema de Stone-Weierstrass si los coeficientes de la matriz separan puntos, lo cual es obvio si G es un grupo de matrices ( Knapp 1986 , p. 17) . Recíprocamente, es consecuencia del teorema que cualquier grupo de Lie compacto es isomorfo a un grupo de matrices ( Knapp 1986 , Teorema 1.15) . 

Un corolario de este resultado es que los coeficientes de la matriz de G son densos en L ² ( G ).

La segunda parte del teorema establece la existencia de una descomposición de una representación unitaria de G en representaciones de dimensión finita. Ahora bien, intuitivamente, los grupos se conciben como rotaciones sobre objetos geométricos, por lo que resulta natural estudiar representaciones que surgen esencialmente de acciones continuas sobre espacios de Hilbert. (Para quienes se familiarizaron con los grupos duales formados por caracteres que son homomorfismos continuos en el grupo del círculo , este enfoque es similar, salvo que el grupo del círculo se generaliza (en última instancia) al grupo de operadores unitarios sobre un espacio de Hilbert dado ).

Sea G un grupo topológico y H un espacio de Hilbert complejo.

Una acción lineal continua ∗  : G × H → H , da lugar a una aplicación continua ρ _∗  : G → H ^H (funciones de H a H con la topología fuerte ) definida por: ρ _∗ ( g )( v ) = ∗(g,v) . Esta aplicación es claramente un homomorfismo de G en GL( H ), los operadores lineales acotados en H . Recíprocamente, dada dicha aplicación, podemos recuperar la acción de forma única de la manera obvia.

Así definimos las representaciones de G en un espacio de Hilbert H como aquellos homomorfismos de grupo , ρ, que surgen de acciones continuas de G en H. Decimos que una representación ρ es unitaria si ρ( g ) es un operador unitario para todo g  ∈ G ; es decir, ${\displaystyle \langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$para todo v , w  ∈ H . (Es decir, es unitario si ρ : G → U( H ). Nótese cómo esto generaliza el caso especial del espacio de Hilbert unidimensional, donde U( C ) es simplemente el grupo del círculo.)  

Dadas estas definiciones, podemos enunciar la segunda parte del teorema de Peter-Weyl ( Knapp 1986 , Teorema 1.12) :

Teorema de Peter-Weyl (Parte II). Sea ρ una representación unitaria de un grupo compacto G en un espacio de Hilbert complejo H. Entonces H se divide en una suma directa ortogonal de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita de G.

Para enunciar la tercera y última parte del teorema, existe un espacio de Hilbert natural sobre G que consta de funciones de cuadrado integrable ,${\displaystyle L^{2}(G)}$; esto tiene sentido porque la medida de Haar existe en G. El grupo G tiene una representación unitaria ρ en${\displaystyle L^{2}(G)}$dado por actuar por la izquierda, vía

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

La formulación final del teorema de Peter-Weyl ( Knapp 1986 , Teorema 1.12) proporciona una base ortonormal explícita de${\displaystyle L^{2}(G)}$. Aproximadamente, afirma que los coeficientes de la matriz para G , adecuadamente renormalizados, son una base ortonormal de L ² ( G ). En particular,${\displaystyle L^{2}(G)}$se descompone en una suma directa ortogonal de todas las representaciones unitarias irreducibles, en la que la multiplicidad de cada representación irreducible es igual a su grado (es decir, la dimensión del espacio subyacente de la representación). Por lo tanto,

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}}$

donde Σ denota el conjunto de (clases de isomorfismo de) representaciones unitarias irreducibles de G , y la suma denota el cierre de la suma directa de los espacios totales E _π de las representaciones π.

También podemos considerar${\displaystyle L^{2}(G)}$como representación del grupo de productos directos${\displaystyle G\times G}$, con los dos factores actuando por traslación a la izquierda y a la derecha, respectivamente. Fije una representación${\displaystyle (\pi ,E_{\pi })}$de${\displaystyle G}$. El espacio de coeficientes de matriz para la representación puede identificarse con${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$, el espacio de aplicaciones lineales de${\displaystyle E_{\pi }}$a sí mismo. La acción natural izquierda y derecha de${\displaystyle G\times G}$sobre los coeficientes de la matriz corresponde a la acción sobre${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$dado por

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

Entonces podemos descomponer${\displaystyle L^{2}(G)}$como representación unitaria de${\displaystyle G\times G}$en la forma

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.}$

Finalmente, podemos formar una base ortonormal para${\displaystyle L^{2}(G)}$como sigue. Supongamos que se elige un representante π para cada clase de isomorfismo de representación unitaria irreducible, y denotemos la colección de todos esos π por Σ. Sea${\displaystyle \scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}}$sean los coeficientes matriciales de π en una base ortonormal, en otras palabras

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

para cada g  ∈ G . Finalmente, sea d ^(π) el grado de la representación π. El teorema ahora afirma que el conjunto de funciones 

${\displaystyle \left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}}$

es una base ortonormal de${\displaystyle L^{2}(G).}$

• Dualidad de Pontryagin

• Pedro, F.; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit derprimitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ana. , 97 : 737– 755, doi : 10.1007/BF01447892.
• Bump, Daniel (2004), Grupos de mentira , Springer, ISBN 0-387-21154-3.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• "Teorema de Peter-Weyl" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Knapp, Anthony (1986), Teoría de la representación de grupos semisimples , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, vol.  140 (2.ª  ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
• Mostow, George D. (1961), "Cohomología de grupos topológicos y variedades solubles", Annals of Mathematics , 73 (1), Princeton University Press: 20–48 , doi : 10.2307/1970281 , JSTOR 1970281 
• Palais, Richard S.; Stewart, TE (1961), "La cohomología de los grupos de transformación diferenciables", American Journal of Mathematics , 83 (4), The Johns Hopkins University Press: 623–644 , doi : 10.2307/2372901 , JSTOR 2372901 .

Específico