Producto interior de Petersson

En matemáticas, el producto interno de Petersson es un producto interno definido en el espacio de formas modulares completas . Fue introducido por el matemático alemán Hans Petersson .

Sea el espacio de formas modulares enteras de peso y el espacio de formas de cúspide . ${\displaystyle \mathbb {M}_{k}}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \mathbb {S}_{k}}$

El mapeo , ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {M} _{k}\times \mathbb {S} _{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(\tau )}}(\operatorname {Im} \tau )^{k}d\nu (\tau )}$

se llama producto interno de Petersson, donde

${\displaystyle \mathrm {F} =\left\{\tau \in \mathrm {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq {\frac {1}{2}},\left|\tau \right|\geq 1\right\}}$

es una región fundamental del grupo modular y para${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle \tau = x+iy}$

${\displaystyle d\nu (\tau )=y^{-2}dxdy}$

es la forma de volumen hiperbólico.

La integral es absolutamente convergente y el producto interno de Petersson es una forma hermítica definida positiva .

Para los operadores de Hecke , y para las formas de nivel , tenemos: $Estilo de visualización T_{n}$${\estilo de visualización f,g}$${\displaystyle \Gamma _{0}}$

${\displaystyle \langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle }$

Esto se puede utilizar para demostrar que el espacio de formas de cúspide de nivel tiene una base ortonormal que consiste en funciones propias simultáneas para los operadores de Hecke y los coeficientes de Fourier de estas formas son todos reales. ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

• Métrica de Weil-Petersson

• TM Apostol, Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números , Springer Verlag Berlin Heidelberg Nueva York 1990, ISBN  3-540-97127-0
• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen , Springer Verlag Berlin Heidelberg Nueva York 1998, ISBN 3-540-63744-3 
• S. Lang, Introducción a las formas modulares , Springer Verlag Berlin Heidelberg Nueva York 2001, ISBN 3-540-07833-9