Mapa de recuperación de Petz

En la teoría de la información cuántica , una mezcla de mecánica cuántica y teoría de la información , el mapa de recuperación de Petz puede considerarse un análogo cuántico del teorema de Bayes . Propuesto por Dénes Petz , ^{[ 1 ]} el mapa de recuperación de Petz es un canal cuántico asociado a un canal cuántico y un estado cuántico dados . (Un canal cuántico es un mapa completamente positivo que preserva la traza (CPTP)). Este mapa de recuperación está diseñado de tal manera que, al aplicarse a un estado de salida resultante de la acción del canal cuántico dado sobre un estado de entrada, permite inferir el estado de entrada original. En esencia, el mapa de recuperación de Petz sirve como una herramienta para reconstruir información sobre el estado cuántico inicial a partir de su contraparte transformada bajo la influencia del canal cuántico especificado.

El mapa de recuperación de Petz encuentra aplicaciones en varios dominios, incluyendo la retrodicción cuántica , ^{[ 2 ]} la corrección de errores cuánticos , ^{[ 3 ]} y la reconstrucción de cuñas de entrelazamiento para la física de agujeros negros. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Supongamos que tenemos un estado cuántico que se describe mediante un operador de densidad.${\displaystyle \sigma }$y un canal cuántico${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, el mapa de recuperación de Petz se define como ^{[ 1 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma ,{\mathcal {E}}}(\rho )=\sigma ^{1/2}{\mathcal {E}}^{\dagger }({\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2}\rho {\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2})\sigma ^{1/2}.}$

Observa que${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\dagger }}$es el adjunto de Hilbert-Schmidt de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Entonces, tenemos que

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma,{\mathcal {E}}}({\mathcal {E}}(\sigma))=\sigma.}$

Por lo tanto, el mapa de recuperación de Petz recupera perfectamente el estado.${\displaystyle \sigma }$desde la salida del canal${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ).}$

El mapa de Petz se ha generalizado de diversas maneras en el campo de la teoría de la información cuántica. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Una propiedad crucial del mapa de recuperación de Petz es su capacidad para funcionar como un canal cuántico en ciertos casos, lo que lo convierte en una herramienta esencial en la teoría de la información cuántica.

1. El mapa de recuperación de Petz es un mapa completamente positivo , ya que (i) el intercalado por el operador semidefinido positivo${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2}(\cdot ){\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2}}$es completamente positivo; (ii)${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\dagger }}$también es completamente positivo cuando ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es completamente positivo; y (iii) intercalado por el operador semidefinido positivo${\displaystyle \sigma ^{1/2}(\cdot )\sigma ^{1/2}}$es completamente positivo.
2. También está claro que ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma,{\mathcal {E}}}}$es traza no creciente, ya que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} \left[{\mathcal {P}}_{\sigma ,{\mathcal {N}}}(X)\right]&=\operatorname {Tr} \left[\sigma ^{\frac {1}{2}}{\mathcal {E}}^{\dagger }\left({\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}\right)\sigma ^{\frac {1}{2}}\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[\sigma {\mathcal {E}}^{\dagger }\left({\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}\right)\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[{\mathcal {E}}(\sigma ){\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}{\mathcal {E}}(\sigma ){\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[\Pi _{{\mathcal {E}}(\sigma )}X\right]\\&\leq \operatorname {Tr} [X]\end{aligned}}}$

De 1 y 2, cuando${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )}$es invertible, el mapa de recuperación de Petz${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma,{\mathcal {E}}}}$es un canal cuántico, es decir, un mapa CPTP.

• Breve descripción general del mapa de recuperación de Petz y sus aplicaciones.