Monopulso de comparación de fase

Podemos definir el patrón de haz ( factor de matriz ) de una matriz lineal uniforme (ULA) con N elementos, como: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle B_{\theta }\left(\theta \right)={\vec {w}}^{H}{\vec {v}}_{\theta }\left(\theta \right)=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}\left[{\vec {v}}_{\theta }\left(\theta \right)\right]_{n}=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right){\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta }}$, dónde${\displaystyle {\vec {v}}_{\theta }}$es el vector de variedad de matriz y${\displaystyle {\vec {w}}}$es un vector de pesos complejos que representan ajustes de amplitud y fase aplicados a cada elemento de la antena. El vector de variedad,${\displaystyle {\vec {v}}_{\theta }}$, encapsula completamente todas las propiedades espaciales de la matriz. ${\displaystyle d}$es la distancia entre los elementos del arreglo, y${\displaystyle \theta }$es el ángulo de llegada de una onda plana incidente , definido a partir del frente de onda, es decir,${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$es una señal de la matriz en dirección perpendicular.

Es común realizar una sustitución de variables para${\displaystyle \psi }$-espacio, donde${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta }$y por lo tanto tenemos:

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$

y podemos ver más fácilmente que${\displaystyle \psi }$es simplemente el desfase entre elementos adyacentes.${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$El término simplemente hace referencia a la fase absoluta con respecto al centro físico del conjunto.

Observe que este resultado es el mismo si, en lugar de eso, primero sumamos cada mitad de la matriz y luego sumamos esos resultados.

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }+\sum _{n={\frac {N}{2}}}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$

El vector de peso es una combinación de un vector de dirección que dirige el haz en una dirección determinada,${\displaystyle \psi _{S}}$, utilizando ajustes de fase y una atenuación de amplitud que se aplica a menudo para reducir los lóbulos laterales . Por lo tanto,${\displaystyle \left[{\vec {w}}\right]_{n}=a_{n}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{S}}}$, y

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi _{\Delta }\right)=e^{j\left({\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}e^{-jn\psi _{\Delta }}}$, dónde${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi _{S}-\psi }$.

Ahora podemos ver claramente que el patrón del haz, en${\displaystyle \psi }$-espacio, es el equivalente espacial de la transformada discreta de Fourier (DTFT) del vector de atenuación de amplitud de la matriz multiplicado por un término de fase lineal . La ventaja de${\displaystyle \psi }$-La ventaja es que la forma del haz es idéntica sin importar hacia dónde se dirija, y es solo una función de la desviación de la fase objetivo deseada con respecto a la fase objetivo real.

Supongamos ahora una matriz normalizada sin atenuación con${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}}$. Se puede demostrar fácilmente que el patrón del haz es la conocida función sinc (asinc) con alias:

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi _{\Delta }\right)={\frac {1}{N}}{\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{sin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}}}$

Este patrón también se conoce, para fines de monopulso, como el patrón "suma", ya que se obtuvo sumando todos los elementos. En adelante suprimiremos el${\displaystyle \Delta }$subíndice y en su lugar utilice solo${\displaystyle \psi }$con el entendimiento de que representa la desviación entre la fase objetivo dirigida y la fase objetivo real.

Desarrollemos ahora el patrón de "diferencia" o "del" monopulso dividiendo la matriz en dos mitades iguales llamadas submatrices. Podríamos haber derivado fácilmente el patrón de suma determinando primero el patrón de cada submatriz individualmente y sumando estos dos resultados. En la práctica monopulso, esto es lo que realmente se hace. Se deja al lector la tarea de demostrar que${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)}$es simétrica conjugada, por lo que puede reescribirse en términos de solo su primera mitad,${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)}$utilizando una matriz de intercambio,${\displaystyle {\textbf {J}}}$, que "invierte" este vector.

${\displaystyle {\textbf {J}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\\\vdots &\ddots &1&0\\0&\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}&\ddots &\vdots \\1&0&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle {\textbf {J}}\cdot {\textbf {J}}={\textbf {I}}}$. Suponiendo que N es par (podríamos desarrollarlo igualmente usando un N impar), ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}}$

Si asumimos que la matriz de pesos también es simétrica conjugada (una buena suposición), entonces

${\displaystyle {\vec {w}}={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {w}}_{1}^{*}\end{bmatrix}}}$

y el patrón de haz suma se puede reescribir como: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\Sigma _{\psi }\left(\psi \right)={\vec {w}}^{H}{\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}^{H}&\vdots &{\vec {w}}_{1}^{T}{\textbf {J}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}={\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)+{\vec {w}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)=2Re\left[{\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\right]}$

El patrón de diferencia o "del" se puede inferir fácilmente del patrón de suma simplemente invirtiendo el signo de los pesos para la segunda mitad de la matriz:

${\displaystyle \Delta _{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}^{H}&\vdots &-{\vec {w}}_{1}^{T}{\textbf {J}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}={\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)-{\vec {w}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)=2Im\left[{\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\right]}$

Suponiendo nuevamente que${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}}$, se puede demostrar que el patrón del se reduce a:

${\displaystyle \Delta _{\psi }\left(\psi \right)={\frac {2}{N}}Im\left[\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }\right]={\frac {2}{N}}{\frac {sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}$

La relación monopulso se forma de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}={\frac {{\frac {2}{N}}{\frac {sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}{{\frac {1}{N}}{\frac {sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}}={\frac {2sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}}={\frac {1-cos\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}{sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}}=tan\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}$

Se observa que, dentro del ancho de haz de 3 dB del sistema, la relación monopulso es casi lineal. De hecho, para muchos sistemas, una aproximación lineal es suficiente. También se puede apreciar que la relación monopulso es continua dentro del ancho de haz entre nulos, pero presenta asíntotas en los nulos del haz. Por lo tanto, la relación monopulso solo es precisa para medir el ángulo de desviación de un objetivo dentro del lóbulo principal del sistema. Sin embargo, los objetivos detectados en las zonas periféricas del sistema, si no se corrigen, producirán resultados erróneos.