Modelos de campo de fase en gráficos

Los modelos de campo de fase en gráficos son un análogo discreto de los modelos de campo de fase , definidos en un gráfico . Se utilizan en el análisis de imágenes (para la identificación de características) y para la segmentación de redes sociales .

Para un gráfico con vértices V y pesos de arista , la función de Ginzburg-Landau del gráfico de un mapa está dada por ${\displaystyle \omega_{i,j}}$${\displaystyle u:V\to \mathbb {R}}$

${\displaystyle F_{\varepsilon}(u)={\frac {\varepsilon}}{2}}\sum _{i,j\in V}\omega _{ij}(u_{i}-u_{j})^{2}+{\frac {1}{\varepsilon}}\sum _{i\in V}W(u_{i}),}$

donde W es un potencial de pozo doble, por ejemplo el potencial cuártico W ( x ) = x ² (1 − x ² ). El funcional gráfico de Ginzburg–Landau fue introducido por Bertozzi y Flenner. ^[1] En analogía con los modelos de campo de fase continuo, donde las regiones con u cerca de 0 o 1 son modelos para dos fases del material, los vértices se pueden clasificar en aquellos con u _j cerca de 0 o cerca de 1, y para pequeños , los minimizadores de satisfarán que u _j está cerca de 0 o 1 para la mayoría de los nodos, dividiendo los nodos en dos clases. ${\estilo de visualización \varepsilon}$${\ Displaystyle F _ {\ varepsilon}}$

Para minimizar de manera efectiva , un enfoque natural es el flujo de gradiente ( descenso más pronunciado ). Esto significa introducir un parámetro de tiempo artificial y resolver la versión gráfica de la ecuación de Allen-Cahn . ${\ Displaystyle F _ {\ varepsilon}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u_{j}=-\varepsilon (\Delta u)_{j}-{\frac {1}{\varepsilon }}W'(u_{j}) ,}$

donde es el laplaciano del grafo . La ecuación de Allen-Cahn del continuo ordinario y la ecuación de Allen-Cahn del grafo son contrapartes naturales, que simplemente reemplazan el cálculo ordinario por el cálculo sobre grafos . Luo y Bertozzi han establecido un resultado de convergencia para un esquema de Allen-Cahn de grafo numérico. ^[2]${\estilo de visualización \Delta}$

También es posible adaptar otros esquemas computacionales para el flujo de curvatura media , por ejemplo, esquemas que involucran umbralización como el esquema Merriman-Bence-Osher, a una configuración gráfica, con resultados análogos. ^[3]

• Recortes de gráficos en visión artificial