Constante de propagación

La constante de propagación de una onda electromagnética sinusoidal mide el cambio que experimentan la amplitud y la fase de la onda al propagarse en una dirección determinada. La magnitud que se mide puede ser la tensión , la corriente en un circuito o un vector de campo, como la intensidad del campo eléctrico o la densidad de flujo . La constante de propagación mide el cambio adimensional de magnitud o fase por unidad de longitud . En el contexto de las redes de dos puertos y sus cascadas, la constante de propagación mide el cambio que experimenta la magnitud de la fuente al propagarse de un puerto al siguiente.

El valor de la constante de propagación se expresa logarítmicamente , casi universalmente en base e , en lugar de en base 10, como se usa en telecomunicaciones en otras situaciones. La magnitud medida, como el voltaje, se expresa como un fasor sinusoidal . La fase de la sinusoide varía con la distancia, lo que hace que la constante de propagación sea un número complejo , cuya parte imaginaria se debe al cambio de fase.

El término "constante de propagación" es algo inapropiado, ya que suele variar mucho con ω . Probablemente sea el término más utilizado, pero existen muchos nombres alternativos empleados por diversos autores para esta magnitud. Estos incluyen parámetro de transmisión , función de transmisión , parámetro de propagación , coeficiente de propagación y constante de transmisión . Si se usa el plural, sugiere que α y β se mencionan por separado, pero de forma colectiva, como en parámetros de transmisión , parámetros de propagación , etc. En la teoría de líneas de transmisión, α y β se cuentan entre los "coeficientes secundarios ", término que se usa para contrastar con los coeficientes primarios de la línea . Los coeficientes primarios son las propiedades físicas de la línea, a saber , R , C , L y G , a partir de las cuales se pueden derivar los coeficientes secundarios usando la ecuación del telegrafista . En el campo de las líneas de transmisión, el término coeficiente de transmisión tiene un significado diferente a pesar de la similitud del nombre: es el complemento del coeficiente de reflexión .

La constante de propagación, símbolo γ , para un sistema dado se define por la relación entre la amplitud compleja en la fuente de la onda y la amplitud compleja a cierta distancia x , de tal manera que

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}.}$

Invirtiendo la ecuación anterior y despejando γ, se obtiene el cociente del logaritmo natural de la razón de amplitud compleja y la distancia recorrida x :

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}$

Dado que la constante de propagación es una cantidad compleja, podemos escribir:

$${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \ }$$

dónde

• α , la parte real, se denomina constante de atenuación.
• β , la parte imaginaria, se denomina constante de fase.
• ${\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}}$; el símbolo j es más típico en ingeniería eléctrica y electrónica.

Que β representa efectivamente la fase se puede ver en la fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }$

que es una sinusoide que varía en fase a medida que θ varía pero no varía en amplitud porque

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }\;}}=1}$

Ahora también queda clara la razón para el uso de la base e . La constante de fase imaginaria, iβ , se puede sumar directamente a la constante de atenuación, α , para formar un único número complejo que se puede manejar en una sola operación matemática siempre que estén en la misma base. Para llegar a radianes se requiere la base e , y de igual manera, para llegar a nepers para la atenuación se requiere la base e .

La constante de propagación para líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de línea primarios mediante la relación

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY\ }}}$

dónde

${\displaystyle Z=R+i\ \omega L}$es la impedancia en serie de la línea por unidad de longitud y,

${\displaystyle Y=G+i\ \omega C}$es la admitancia en derivación de la línea por unidad de longitud.

En telecomunicaciones , el término constante de atenuación , también llamado parámetro de atenuación o coeficiente de atenuación , es la atenuación de una onda electromagnética que se propaga a través de un medio por unidad de distancia desde la fuente. Es la parte real de la constante de propagación y se mide en neper por metro. Un neper equivale aproximadamente a 8,7 dB . La constante de atenuación se puede definir mediante la relación de amplitud. 

${\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

La constante de propagación por unidad de longitud se define como el logaritmo natural de la relación entre la corriente o tensión del extremo emisor y la corriente o tensión del extremo receptor, dividido por la distancia x involucrada:

${\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}$

En teoría electromagnética , la constante de fase , también llamada constante de cambio de fase , parámetro o coeficiente, es la parte imaginaria de la constante de propagación de una onda plana. Representa el cambio de fase por unidad de longitud a lo largo de la trayectoria de la onda en cualquier instante y es igual a la parte real del número de onda angular de la onda. Se representa con el símbolo β (unidad del SI: radianes por metro).

A partir de la definición de número de onda (angular) para ondas electromagnéticas transversales (TEM) en medios sin pérdidas,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

Para una línea de transmisión , las ecuaciones del telegrafista nos dicen que el número de onda debe ser proporcional a la frecuencia para que la transmisión de la onda no se distorsione en el dominio del tiempo . Esto incluye, pero no se limita al caso ideal de una línea sin pérdidas. La razón de esta condición se puede ver al considerar que una señal útil está compuesta por muchas longitudes de onda diferentes en el dominio de la frecuencia. Para que no haya distorsión de la forma de onda , todas estas ondas deben viajar a la misma velocidad para que lleguen al otro extremo de la línea al mismo tiempo como un grupo . Dado que la velocidad de fase de la onda está dada por

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

Se demuestra que β debe ser proporcional a ω . En términos de los coeficientes primarios de la línea, esto produce, a partir de la ecuación del telegrafista para una línea sin distorsión, la condición

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

donde L y C son, respectivamente, la inductancia y la capacitancia por unidad de longitud de la línea. Sin embargo, cabe esperar que las líneas prácticas solo cumplan esta condición de forma aproximada en una banda de frecuencia limitada.

En particular, la constante de fase${\displaystyle \beta }$no siempre es equivalente al número de onda${\displaystyle k}$. La relación

${\displaystyle \beta =k}$

Se aplica a la onda TEM, que viaja en el espacio libre o en dispositivos TEM como el cable coaxial y las líneas de transmisión de dos cables paralelos . Sin embargo, no se aplica a la onda TE (onda eléctrica transversal) ni a la onda TM (onda magnética transversal). Por ejemplo, ^{[ 2 ]} en una guía de ondas hueca donde la onda TEM no puede existir, pero las ondas TE y TM pueden propagarse,

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

Aquí${\displaystyle \omega _{c}}$ es la frecuencia de corte . En una guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte es

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

dónde${\displaystyle m,n\geq 0}$son los números modales para los lados del rectángulo de longitud${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$respectivamente. Para los modos TE,${\displaystyle m,n\geq 0}$(pero${\displaystyle m=n=0}$no está permitido), mientras que para los modos TM${\displaystyle m,n\geq 1}$.

La velocidad de fase es igual a

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

El término constante de propagación o función de propagación se aplica a filtros y otras redes de dos puertos utilizadas para el procesamiento de señales . En estos casos, sin embargo, los coeficientes de atenuación y fase se expresan en términos de nepers y radianes por sección de red, en lugar de por unidad de longitud. Algunos autores ^{[ 3 ]} distinguen entre medidas por unidad de longitud (para las cuales se utiliza el término "constante") y medidas por sección (para las cuales se utiliza el término "función").

La constante de propagación es un concepto útil en el diseño de filtros, que invariablemente utiliza una topología de secciones en cascada . En una topología en cascada, la constante de propagación, la constante de atenuación y la constante de fase de las secciones individuales se pueden sumar simplemente para obtener la constante de propagación total, etc.

Redes en cascada

La relación entre el voltaje de salida y el de entrada para cada red viene dada por ^{[ 4 ].}

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

Los términos${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$son términos de escalado de impedancia ^{[ 5 ]} y su uso se explica en el artículo sobre impedancia de imagen .

La relación de voltaje total viene dada por

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

Así, para n secciones en cascada que tienen impedancias coincidentes enfrentadas entre sí, la constante de propagación global viene dada por

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

El concepto de profundidad de penetración es una de las muchas maneras de describir la absorción de ondas electromagnéticas. Para conocer las demás y sus interrelaciones, consulte el artículo Descripciones matemáticas de la opacidad .

• Velocidad de propagación

• "Constante de propagación" . Enciclopedia de microondas. 2011. Archivado del original (en línea) el 14 de julio de 2014. Consultado el 2 de febrero de 2011 .
• Paschotta, Dr. Rüdiger (2011). "Constante de propagación" (en línea) . Enciclopedia de física y tecnología láser . Consultado el 2 de febrero de 2011 .
• Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (febrero de 1999). "Determinación de la permitividad compleja a partir de mediciones de la constante de propagación" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 76– 78. Bibcode : 1999IMGWL...9...76J . doi : 10.1109/75.755052 . Consultado el 2 de febrero de 2011 .La descarga gratuita del PDF está disponible. Existe una versión actualizada con fecha del 6 de agosto de 2002.