Dispersión de fonones

Los fonones pueden dispersarse a través de varios mecanismos a medida que viajan a través del material. Estos mecanismos de dispersión son: dispersión fonón-fonón de Umklapp , dispersión fonón-impureza, dispersión fonón-electrón y dispersión fonón-límite. Cada mecanismo de dispersión puede caracterizarse por una tasa de relajación 1/${\displaystyle \tau }$que es el inverso del tiempo de relajación correspondiente.

Todos los procesos de dispersión pueden tenerse en cuenta utilizando la regla de Matthiessen . Entonces, el tiempo de relajación combinado${\displaystyle \tau _{C}}$se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{C}}}={\frac {1}{\tau _{U}}}+{\frac {1}{\tau _{M}}}+{\frac {1}{\tau _{B}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}}$

Los parámetros${\displaystyle \tau _{U}}$,${\displaystyle \tau _{M}}$,${\displaystyle \tau _{B}}$,${\displaystyle \tau _{\text{ph-e}}}$se deben a la dispersión de Umklapp, la dispersión por impurezas con diferencia de masa, la dispersión en los límites y la dispersión fonón-electrón, respectivamente.

Para la dispersión fonón-fonón, los efectos de los procesos normales (procesos que conservan el vector de onda del fonón - procesos N) se ignoran en favor de los procesos Umklapp (procesos U). Dado que los procesos normales varían linealmente con${\displaystyle \omega }$y los procesos de umklapp varían con${\displaystyle \omega ^{2}}$, La dispersión de Umklapp predomina a alta frecuencia. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \tau _{U}}$está dado por:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{U}}}=2\gamma ^{2}{\frac {k_{B}T}{\mu V_{0}}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{D}}}}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es el parámetro de anarmonicidad de Gruneisen , μ es el módulo de corte , V ₀ es el volumen por átomo y${\displaystyle \omega _{D}}$es la frecuencia de Debye . ^{[ 2 ]}

El transporte térmico en sólidos no metálicos generalmente se consideraba regido por el proceso de dispersión de tres fonones ^{[ 3 ]} , y se creía que el papel de los procesos de dispersión de cuatro fonones y de orden superior era insignificante. Estudios recientes han demostrado que la dispersión de cuatro fonones puede ser importante para casi todos los materiales a alta temperatura ^{[ 4 ]} y para ciertos materiales a temperatura ambiente ^{[ 5 ]} . La importancia predicha de la dispersión de cuatro fonones en el arseniuro de boro fue confirmada experimentalmente.

La dispersión de impurezas por diferencia de masa viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{M}}}={\frac {V_{0}\Gamma \omega ^{4}}{4\pi v_{g}^{3}}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es una medida de la fuerza de dispersión de impurezas. Tenga en cuenta que${\displaystyle {v_{g}}}$depende de las curvas de dispersión.

La dispersión en los límites es particularmente importante para las nanoestructuras de baja dimensionalidad y su tasa de relajación viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {v_{g}}{L_{0}}}(1-p)}$

dónde${\displaystyle L_{0}}$es la longitud característica del sistema y${\displaystyle p}$representa la fracción de fonones dispersados ​​especularmente.${\displaystyle p}$El parámetro no se calcula fácilmente para una superficie arbitraria. Para una superficie caracterizada por una rugosidad cuadrática media${\displaystyle \eta }$, un valor dependiente de la longitud de onda para${\displaystyle p}$se puede calcular utilizando

${\displaystyle p(\lambda )=\exp {\Bigg (}-16{\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\eta ^{2}\cos ^{2}\theta {\Bigg )}}$

dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo de incidencia. ^{[ 6 ]} Un factor adicional de${\displaystyle \pi }$a veces se incluye erróneamente en el exponente de la ecuación anterior. ^{[ 7 ]} En incidencia normal,${\displaystyle \theta =0}$, dispersión perfectamente especular (es decir${\displaystyle p(\lambda )=1}$) requeriría una longitud de onda arbitrariamente grande, o, por el contrario, una rugosidad arbitrariamente pequeña. La dispersión puramente especular no introduce un aumento asociado al límite en la resistencia térmica. Sin embargo, en el límite difusivo, en${\displaystyle p=0}$la tasa de relajación se convierte en

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {v_{g}}{L_{0}}}}$

Esta ecuación también se conoce como límite de Casimir. ^{[ 8 ]}

Estas ecuaciones fenomenológicas pueden, en muchos casos, modelar con precisión la conductividad térmica de nanoestructuras isotrópicas con tamaños característicos del orden del camino libre medio de los fonones . En general, se requieren cálculos más detallados para capturar completamente la interacción fonón-límite en todos los modos vibracionales relevantes en una estructura arbitraria.

La dispersión fonón-electrón también puede contribuir cuando el material está fuertemente dopado. El tiempo de relajación correspondiente se expresa como:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}={\frac {n_{e}\epsilon ^{2}\omega }{\rho v_{g}^{2}k_{B}T}}{\sqrt {\frac {\pi m^{*}v_{g}^{2}}{2k_{B}T}}}\exp \left(-{\frac {m^{*}v_{g}^{2}}{2k_{B}T}}\right)}$

El parámetro${\displaystyle n_{e}}$es la concentración de electrones de conducción, ε es el potencial de deformación, ρ es la densidad de masa y m* es la masa efectiva del electrón. ^{[ 2 ]} Generalmente se supone que la contribución a la conductividad térmica por dispersión fonón-electrón es despreciable .

• Dispersión reticular
• Dispersión de Umklapp
• Interacción electrón-fonón acústico longitudinal