Esfera fotónica

Una esfera de fotones , o anillo de fotones ^{[ 1 ]} o círculo de fotones , ^{[ 2 ]} surge en una vecindad del horizonte de sucesos de un agujero negro donde la gravedad es tan fuerte que los fotones emitidos no solo se curvan alrededor del agujero negro sino que también regresan al punto desde donde fueron emitidos y, en consecuencia, muestran propiedades similares a las de un bumerán. ^{[ 2 ]} A medida que la fuente que emite fotones cae en el campo gravitatorio hacia el horizonte de sucesos, la forma de la trayectoria de cada fotón bumerán cambia, tendiendo a una forma más circular. En un valor crítico de la distancia radial desde la singularidad, la trayectoria de un fotón bumerán tomará la forma de una órbita circular inestable, formando así un círculo de fotones y, por lo tanto, en agregación, una esfera de fotones. Se dice que la órbita circular del fotón es la última órbita del fotón . ^{[ 3 ]} El radio de la esfera de fotones, que también es el límite inferior para cualquier órbita circular , es, para un agujero negro de Schwarzschild ,

${\displaystyle r={\frac {3GM}{c^{2}}}={\frac {3r_{\text{s}}}{2}},}$

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del agujero negro , c es la velocidad de la luz en el vacío y r _s es el radio de Schwarzschild (el radio del horizonte de sucesos ); véase más abajo una derivación de este resultado.

Esta ecuación implica que las esferas de fotones solo pueden existir en el espacio que rodea a un objeto extremadamente compacto (un agujero negro o posiblemente una estrella de neutrones "ultracompacta" ^{[ 4 ]} ).

La esfera de fotones se encuentra más lejos del centro de un agujero negro que el horizonte de sucesos. Dentro de una esfera de fotones, es posible imaginar un fotón que se emite (o refleja) desde la parte posterior de la cabeza y, siguiendo una órbita alrededor del agujero negro, es interceptado por el ojo de la persona, lo que permite ver la parte posterior de la cabeza (aunque muy distorsionada), véase, por ejemplo, ^{[ 2 ].}

Para agujeros negros no rotatorios, la esfera de fotones es una esfera de radio 3/2 r _s . No existen órbitas estables de caída libre dentro de la esfera de fotones ni que la atraviesen. Cualquier órbita de caída libre que la atraviese desde el exterior cae en espiral hacia el agujero negro. Cualquier órbita que la atraviese desde el interior escapa al infinito o cae de nuevo y cae en espiral hacia el agujero negro. No es posible ninguna órbita sin aceleración con un semieje mayor menor que esta distancia, pero dentro de la esfera de fotones, una aceleración constante permitirá que una nave espacial o sonda se mantenga suspendida sobre el horizonte de sucesos. 

Otra propiedad de la esfera fotónica es la inversión de la fuerza centrífuga (no centrípeta ). ^{[ 5 ]} Fuera de la esfera fotónica, cuanto más rápido orbita un objeto, mayor es la fuerza hacia afuera que se siente. La fuerza centrífuga se anula en la esfera fotónica, incluso en órbitas que no son de caída libre a cualquier velocidad; es decir, un objeto pesa lo mismo sin importar cuán rápido orbite, y se vuelve negativa dentro de ella. Dentro de la esfera fotónica, una órbita más rápida conlleva un mayor peso o fuerza hacia adentro. Esto tiene graves ramificaciones para la dinámica de fluidos del flujo de fluido hacia adentro.

Un agujero negro en rotación tiene muchas "esferas" de fotones, más precisamente oblatos (esferoides más o menos aplanados en los polos, dependiendo de la dirección de aproximación del fotón). A medida que un agujero negro rota, arrastra el espacio consigo. En una órbita polar , solo hay una esfera de fotones. Esto se debe a que, al aproximarse desde una dirección paralela al eje de rotación, no existe la posibilidad de viajar a favor o en contra de la rotación. La rotación, en cambio, hará que la órbita precese . ^{[ 6 ]} Las otras esferas de fotones que están más cerca del agujero negro que la esfera de la órbita polar tienen el mismo giro que el agujero negro, y las que están más lejos tienen el giro opuesto. Cuanto mayor sea la velocidad angular de rotación de un agujero negro, mayor será la distancia entre las esferas de fotones más cercanas y más lejanas. Si los fotones se aproximan al agujero negro en dirección al ecuador, las esferas de fotones degeneran en círculos en el plano ecuatorial.

Dado que un agujero negro de Schwarzschild tiene simetría esférica, todos los ejes posibles para una órbita circular de un fotón son equivalentes, y todas las órbitas circulares tienen el mismo radio.

Esta derivación implica el uso de la métrica de Schwarzschild , dada por

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+d\theta ^{2}).}$

Para un fotón que viaja a un radio constante r (es decir, en la dirección de la coordenada φ ),${\displaystyle dr=0}$. Dado que es un fotón,${\displaystyle ds=0}$(un "intervalo similar a la luz"). Siempre podemos rotar el sistema de coordenadas de tal manera que${\displaystyle \theta }$es constante,${\displaystyle d\theta =0}$(p.ej,${\displaystyle \theta =\pi /2}$).

Si establecemos ds , dr y dθ a cero, tenemos

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}=r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Reorganizar da

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r\sin \theta }}{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}.}$

Para continuar, necesitamos la relación${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}}$Para hallarla, utilizamos la ecuación geodésica radial.

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.}$

No evanescente${\displaystyle \Gamma }$-los coeficientes de conexión son

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {c^{2}BB'}{2}},\quad \Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {B^{-1}B'}{2}},\quad \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-rB,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta ,}$

dónde${\displaystyle B'={\frac {dB}{dr}},\ B=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$.

Tratamos geodésicas radiales de fotones con r constante y${\displaystyle \theta }$, por lo tanto

${\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}={\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}={\frac {d\theta }{d\tau }}=0.}$

Sustituyendo todo en la ecuación geodésica radial (la ecuación geodésica con la coordenada radial como variable dependiente), obtenemos

${\displaystyle \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}.}$

Comparándolo con lo que se obtuvo anteriormente, tenemos

${\displaystyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}},}$

donde hemos insertado${\displaystyle \theta =\pi /2}$radianes (imagine que la masa central, alrededor de la cual orbita el fotón, se encuentra en el centro de los ejes de coordenadas. Entonces, mientras el fotón viaja a lo largo de los${\displaystyle \phi }$-línea de coordenadas, para que la masa se ubique directamente en el centro de la órbita del fotón, debemos tener${\displaystyle \theta =\pi /2}$radianes).

Por lo tanto, reordenando esta expresión final se obtiene

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}r_{\text{s}},}$

que es el resultado que nos propusimos demostrar.

A diferencia de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro de Kerr (con rotación) no posee simetría esférica, sino únicamente un eje de simetría, lo cual tiene profundas consecuencias para las órbitas de los fotones. Véase, por ejemplo, Cramer ^{[ 2 ]} para obtener detalles y simulaciones de órbitas y círculos de fotones. Existen cuatro órbitas circulares de fotones en el plano ecuatorial, con diferentes radios de Boyer-Lindquist :

${\displaystyle r_{0}=0}$(singularidad de anillo con radio cartesiano |a|, órbita prograda estable),

${\displaystyle r_{1}=2r_{s}\left[\sin ^{2}\left({\frac {1}{3}}\arcsin {\frac {|a|}{m}}\right)\right]}$(órbita prograda inestable),

${\displaystyle r_{2}=r_{s}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {-|a|}{m}}\right)\right]}$(órbita prograda inestable),

${\displaystyle r_{3}=r_{s}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {|a|}{m}}\right)\right]}$(órbita retrógrada inestable),

con${\displaystyle 0<r_{1}\leq {m}\leq r_{2}\leq 3{m}\leq r_{3}\leq 4{m}}$,

dónde${\displaystyle m={\frac {GM}{c^{2}}}={\frac {r_{s}}{2}}}$y${\displaystyle a={\frac {J}{cM}}}$con${\displaystyle J}$el momento angular de giro del agujero negro ^{[ 7 ]} y${\displaystyle |a|\leq m}$.

Nota:${\displaystyle r_{2}}$y ${\displaystyle r_{3}}$corresponden respectivamente a las esferas (degeneradas) de radio más corto${\displaystyle \geq {m}}$y radio máximo. Cuanto mayor sea el giro del agujero negro, mayor será la brecha entre${\displaystyle r_{2}}$y ${\displaystyle r_{3}}$. ${\displaystyle r_{1}}$está dentro del horizonte interior cuando${\displaystyle |a|<m}$y coincide con ambos horizontes cuando${\displaystyle |a|=m}$^{[ 8 ]} (agujero negro de Kerr extremo).

Existe una órbita polar del fotón (que atraviesa los dos polos y es arrastrada por el giro del agujero negro) con radio de Boyer-Lindquist:

${\displaystyle r_{p}=r_{s}\left[{\frac {1}{2}}+{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{3m^{2}}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1-{\frac {a^{2}}{m^{2}}}}{\left(1-{\frac {a^{2}}{3m^{2}}}\right)^{3/2}}}\right)\right]}$^{[ 7 ]} (órbita inestable),

con${\displaystyle (1+{\sqrt {2}}){m}\leq r_{p}\leq 3{m}}$.

Esta órbita es el límite entre las órbitas progradas y retrógradas.

Cuando el radio de una órbita es menor que${\displaystyle r_{stab}=m\left(1-\left(1-a^{2}/m^{2}\right)^{1/3}\right)}$La órbita es estable bajo perturbación radial; de lo contrario, es inestable.

Cuando${\displaystyle a=0}$(agujero negro de Schwarzschild), las fórmulas anteriores conducen a la única órbita ${\displaystyle r_{2}=r_{3}=r_{p}={\frac {3}{2}}r_{s}}$como se vio en la sección anterior, y${\displaystyle r_{stab}=0}$.

Cuando${\displaystyle a\neq 0}$, existen otras órbitas de radio constante, pero tienen trayectorias más complicadas que oscilan en latitud alrededor del ecuador, ^{[ 7 ]} y excepto${\displaystyle |a|=m}$(agujero negro de Kerr extremo), sus radios no tienen una definición analítica simple conocida hasta la fecha.

A diferencia de un agujero negro de Schwarzschild, una esfera de fotones alrededor de un agujero negro de Kerr puede generarse mediante la órbita de un solo fotón.

El primer intento de detectar un anillo de fotones fue reportado en agosto de 2022 por Avery Broderick y sus colegas, un subgrupo del equipo del Telescopio del Horizonte de Sucesos (EHT). Utilizaron un algoritmo de imagen alternativo en los datos del EHT 2017 del agujero negro supermasivo en el centro de Messier 87 para aislar y extraer una imagen que afirmaron ser un anillo de fotones alrededor del agujero negro supermasivo M87* . ^{[ 9 ]} La afirmación fue criticada porque el supuesto anillo de fotones era más brillante de lo esperado; y un análisis independiente similar de los datos del EHT 2017, con límites en el brillo del supuesto anillo de fotones, no arrojó evidencia de la detección de un anillo de fotones. ^{[ 10 ]}

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