Observable

En física , un observable es una propiedad o magnitud física que se puede medir . En mecánica clásica , un observable es una "función" de valor real definida sobre el conjunto de todos los estados posibles del sistema, por ejemplo, la posición y el momento . En mecánica cuántica , un observable se describe mediante un operador lineal. Por ejemplo, estos operadores podrían representar la aplicación de diversos campos electromagnéticos al sistema y la lectura de un valor.

Las magnitudes físicamente significativas también deben satisfacer leyes de transformación que relacionen las observaciones realizadas por diferentes observadores en diferentes sistemas de referencia . Estas leyes de transformación son automorfismos del espacio de estados , es decir, transformaciones biyectivas que preservan ciertas propiedades matemáticas del espacio en cuestión.

Cada magnitud observable en un sistema cuántico se representa mediante un operador lineal. John Archibald Wheeler utilizó la analogía de una máquina para describir los operadores: un estado cuántico entra en la máquina y el estado resultante sale. El estado resultante será uno de los autoestados del operador. Si la entrada fue un autoestado, la salida también será ese autoestado. En todos los demás casos, la salida será no determinista: se obtendrá uno de los autoestados con una probabilidad que depende del operador y de la entrada. ^{[ 1 ] : 70}

En mecánica cuántica , los observables corresponden a operadores autoadjuntos lineales en un espacio de Hilbert complejo separable que representa el espacio de estados cuánticos . ^{[ 2 ]} Los observables asignan valores a los resultados de mediciones particulares , correspondientes al autovalor del operador. Si estos resultados representan estados físicamente admisibles (es decir, aquellos que pertenecen al espacio de Hilbert), los autovalores son reales ; sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} En consecuencia, solo ciertas mediciones pueden determinar el valor de un observable para algún estado de un sistema cuántico. En mecánica clásica, cualquier medición puede hacerse para determinar el valor de un observable.

La relación entre el estado de un sistema cuántico y el valor de una observable requiere álgebra lineal para su descripción. En la formulación matemática de la mecánica cuántica , salvo una constante de fase , los estados puros se dan mediante vectores no nulos en un espacio de Hilbert V. Se considera que dos vectores v y w especifican el mismo estado si y solo si${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$para algún valor distinto de cero${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$Los observables se definen mediante operadores autoadjuntos en V. No todos los operadores autoadjuntos corresponden a un observable físicamente significativo. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} Además, no todos los observables físicos están asociados con operadores autoadjuntos no triviales. Por ejemplo, en la teoría cuántica, la masa aparece como un parámetro en el hamiltoniano, no como un operador no trivial. ^{[ 10 ]}

En el caso de las leyes de transformación en mecánica cuántica, los automorfismos requeridos son transformaciones lineales unitarias (o antiunitarias ) del espacio de Hilbert V. Bajo la relatividad galileana o la relatividad especial , las matemáticas de los sistemas de referencia son particularmente simples, lo que restringe considerablemente el conjunto de observables físicamente significativos.

En mecánica cuántica, la medición de observables presenta algunas propiedades aparentemente contraintuitivas. Específicamente, si un sistema se encuentra en un estado descrito por un vector en un espacio de Hilbert , el proceso de medición afecta dicho estado de manera no determinista, pero estadísticamente predecible. En particular, tras aplicar una medición, la descripción del estado mediante un único vector puede quedar destruida, siendo reemplazada por un conjunto estadístico . La naturaleza irreversible de las operaciones de medición en física cuántica se conoce a veces como el problema de la medición y se describe matemáticamente mediante operaciones cuánticas . Por la estructura de las operaciones cuánticas, esta descripción es matemáticamente equivalente a la ofrecida por la interpretación del estado relativo, donde el sistema original se considera un subsistema de un sistema mayor y el estado del sistema original viene dado por la traza parcial del estado del sistema mayor.

En mecánica cuántica, variables dinámicas${\displaystyle A}$Las magnitudes como la posición, el momento lineal (traslacional) , el momento angular orbital , el espín y el momento angular total están asociadas cada una a un operador autoadjunto.${\displaystyle {\hat {A}}}$que actúa sobre el estado del sistema cuántico. Los autovalores del operador${\displaystyle {\hat {A}}}$corresponden a los posibles valores que puede tener la variable dinámica. Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$es un eigenket ( vector propio ) del observable${\displaystyle {\hat {A}}}$, con valor propio${\displaystyle a}$y existe en un espacio de Hilbert . Entonces $${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$$

Esta ecuación de eigenket dice que si una medición de la observable${\displaystyle {\hat {A}}}$se realiza mientras el sistema de interés está en el estado${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$, entonces el valor observado de esa medición en particular debe devolver el valor propio.${\displaystyle a}$con certeza. Sin embargo, si el sistema de interés se encuentra en el estado general${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$(y${\displaystyle |\phi \rangle }$y${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$son vectores unitarios y el espacio propio de${\displaystyle a}$es unidimensional), entonces el valor propio${\displaystyle a}$se devuelve con probabilidad${\displaystyle |\langle \psi _ {a}|\phi \rangle |^{2}}$, según la regla de Born .

• Auyang, Sunny Y. (1995). ¿Cómo es posible la teoría cuántica de campos? Nueva York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0195093452.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (2019). Mecánica cuántica, volumen 1 . Weinheim: John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-34553-3.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje de espacio de Hilbert con rigged (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
• Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1704-8.
• von Neumann, John (1996). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Traducido por Robert T. Beyer (12.ª ed. impresa, 1.ª edición impresa en rústica  ). Princeton, NJ: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0691028934.
• Varadarajan, VS (2007). Geometría de la teoría cuántica (2.ª  ed.). Nueva York: Springer. ISBN 9780387493862.
• Weyl, Hermann (2009). «Apéndice C: Física cuántica y causalidad». Filosofía de las matemáticas y las ciencias naturales . Edición en inglés revisada y ampliada basada en una traducción de Olaf Helmer. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 253–265 . ISBN  9780691141206.
• Moretti, Valter (2017). Teoría espectral y mecánica cuántica: Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica (2.ª  ed.). Springer. ISBN 978-3319707068.
• Moretti, Valter (2019). Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica: teoría espectral, cuestiones fundamentales, simetrías, formulación algebraica . Springer. ISBN 978-3030183462.