Teorema de Picard-Lindelöf

En matemáticas , específicamente en el estudio de ecuaciones diferenciales , el teorema de Picard-Lindelöf proporciona un conjunto de condiciones suficientes (pero no necesarias) para que un problema de valor inicial tenga una solución única . También se conoce como teorema de existencia de Picard , teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad .

El teorema recibe su nombre en honor a Émile Picard , Ernst Lindelöf , Rudolf Lipschitz y Augustin-Louis Cauchy .

Dejar ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$ser un rectángulo cerrado con${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$un punto en el interior de${\displaystyle D.}$Dejar${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}}$sea ​​una función que sea continua en${\displaystyle t}$y Lipschitz continuo en${\displaystyle y}$(con constante de Lipschitz independiente de${\displaystyle t).}$Entonces existe algo${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que el problema de valor inicial $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}}$$ tiene una solución única${\displaystyle y(t)}$en el intervalo${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ].}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una demostración estándar se basa en transformar la ecuación diferencial en una ecuación integral y, a continuación, aplicar el teorema del punto fijo de Banach para demostrar la existencia y unicidad de las soluciones.

Integrando ambos lados de la ecuación diferencial${\textstyle y'(t)=f(t,y(t))}$muestra que cualquier solución a la ecuación diferencial también debe satisfacer la ecuación integral.

${\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.}$

Dadas las hipótesis que${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle t}$y Lipschitz continuo en${\displaystyle y}$Este operador integral es una contracción (véase la demostración detallada a continuación), por lo que el teorema del punto fijo de Banach demuestra que se puede obtener una solución mediante la iteración de punto fijo de aproximaciones sucesivas. En este contexto, este método de iteración de punto fijo se conoce como iteración de Picard .

Colocar

${\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0}}$

y

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.}$

Del teorema del punto fijo de Banach se deduce que la secuencia de "itera de Picard"${\textstyle \varphi _{k}}$es convergente y su límite es una solución del problema de valor inicial original:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\varphi _{k}(t)=y(t)}$.

Dado que el teorema del punto fijo de Banach establece que el punto fijo es único, la solución encontrada mediante esta iteración es la única solución a la ecuación diferencial dado un valor inicial.

Dejar${\displaystyle y(t)=\tan(t),}$la solución a la ecuación${\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2}}$con condición inicial${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.}$Comenzando con${\displaystyle \varphi _{0}(t)=0,}$iteramos

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds}$

de modo que${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)}$:

${\displaystyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t}$

${\displaystyle \varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}}$

y así sucesivamente. Evidentemente, las funciones están calculando el desarrollo en serie de Taylor de nuestra solución conocida.${\displaystyle y=\tan(t).}$Desde${\displaystyle \tan }$tiene postes en${\displaystyle \pm {\tfrac {\pi }{2}},}$no es Lipschitz-continua en la vecindad de esos puntos, y la iteración converge hacia una solución local para${\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}}}$solo que no es válido en todos los casos.${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Para comprender la unicidad de las soluciones, compare los siguientes dos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para y ( t ) . ^{[ 3 ]} Ambas ecuaciones diferenciales tendrán un único punto estacionario y = 0.

Primero, la ecuación lineal homogénea ⁠ dy / dt ⁠ = ay (${\displaystyle a<0}$), una solución estacionaria es y ( t ) = 0 , que se obtiene para la condición inicial y (0) = 0 . Comenzando con cualquier otra condición inicial y (0) = y ₀ ≠ 0 , la solución${\displaystyle y(t)=y_{0}e^{at}}$tiende hacia el punto estacionario y = 0 , pero solo se aproxima a él en el límite de tiempo infinito, por lo que se garantiza la unicidad de las soluciones en todos los tiempos finitos.

Por el contrario, para una ecuación en la que el punto estacionario se puede alcanzar después de un tiempo finito , la unicidad de las soluciones no se cumple. Consideremos la ecuación no lineal homogénea ⁠ dy / dt ⁠ = ay ^{⁠ 2 / 3 ⁠} , que tiene al menos estas dos soluciones correspondientes a la condición inicial y (0) = 0 : y ( t ) = 0 y

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{cases}}}$

Por lo tanto, el estado anterior del sistema no está determinado de forma única por su estado en o después de t = 0. El teorema de unicidad no se aplica porque la derivada de la función f ( y ) = y ^{⁠ 2 / 3 ⁠} no está acotada en la vecindad de y = 0 y, por lo tanto, no es Lipschitz continua, lo que viola la hipótesis del teorema.

Dejar${\displaystyle L}$sea ​​la constante de Lipschitz de${\displaystyle (t,y)\mapsto f(t,y)}$con respecto a${\displaystyle y.}$ La función${\displaystyle f}$es continua en función de${\displaystyle (t,y)}$. En particular, dado que${\displaystyle t\mapsto f(t,y)}$es una función continua de${\displaystyle t}$, tenemos eso para cualquier punto${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$y${\displaystyle \epsilon >0}$ existen${\displaystyle \delta >0}$ de tal manera que${\displaystyle |f(t,y_{0})-f(t_{0},y_{0})|<\epsilon /2}$cuando${\displaystyle |t-t_{0}|<\delta }$. Tenemos $${\displaystyle |f(t,y)-f(t_{0},y_{0})|\leq |f(t,y)-f(t,y_{0})|+|f(t,y_{0})-f(t_{0},y_{0})|<\epsilon ,}$$ proporcionó${\displaystyle |t-t_{0}|<\delta }$y${\displaystyle |y-y_{0}|<\epsilon /2L}$, lo que demuestra que${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$.

Dejar${\displaystyle a:=1/2L}$y tomar cualquier${\displaystyle b>0}$de tal manera que $${\displaystyle C_{a,b}=I_{a}(t_{0})\times B_{b}(y_{0})}$$ es un subconjunto de${\displaystyle D,}$dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{a}(t_{0})&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\B_{b}(y_{0})&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}}$$ Dicho conjunto existe porque${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$está en el interior de${\displaystyle D,}$por suposición.

Dejar

${\displaystyle M=\sup _{(t,y)\in C_{a,b}}\|f(t,y)\|,}$

que es el supremo de (los valores absolutos de) las pendientes de la función. La función${\displaystyle f}$alcanza un máximo en${\displaystyle C_{a,b}}$porque${\displaystyle f}$es continuo y${\displaystyle C_{a,b}}$es compacto. Para un paso posterior en la demostración, necesitamos que${\displaystyle a<b/M,}$entonces si${\displaystyle a\geq b/M,}$luego cambiar${\displaystyle a}$a${\displaystyle a:={\tfrac {1}{2}}\min\{1/L,\ b/M\},}$y actualización${\displaystyle I_{a}(t_{0}),}$${\displaystyle B_{b}(y_{0}),}$${\displaystyle C_{a,b},}$y${\displaystyle M}$en consecuencia (esta actualización será necesaria como máximo una vez desde${\displaystyle M}$no puede aumentar como resultado de la restricción${\displaystyle C_{a,b}}$).

Considerar${\displaystyle {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$, el espacio de funciones continuas${\displaystyle I_{a}(t_{0})\to B_{b}(y_{0}).}$ Procederemos aplicando el teorema del punto fijo de Banach utilizando la métrica en${\displaystyle {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$inducido por la norma uniforme . Es decir, para cada función continua${\displaystyle \varphi :I_{a}(t_{0})\to B_{b}(y_{0}),}$la norma de${\displaystyle \varphi }$es $${\displaystyle \|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}\|\varphi (t)\|.}$$ El operador de Picard$${\displaystyle \Gamma$$ :{\mathcal {C}}{\big (}I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}){\big )}\to {\mathcal {C}}{\big (}I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}){\big )}} se define para cada${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$por${\displaystyle \Gamma \varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$dado por $${\displaystyle \Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\quad \forall t\in I_{a}(t_{0}).}$$

Para aplicar el teorema del punto fijo de Banach, debemos demostrar que${\displaystyle \Gamma }$mapea un espacio métrico completo no vacío X en sí mismo y también es un mapeo de contracción .

Primero demostramos que${\displaystyle \Gamma }$acepta${\displaystyle B_{b}(y_{0})}$en sí mismo en el espacio de funciones continuas con norma uniforme. Aquí,${\displaystyle B_{b}(y_{0})}$es una bola cerrada en el espacio de funciones continuas (y acotadas ) "centrada" en la función constante.${\displaystyle y_{0}}$Por lo tanto, necesitamos demostrar que $${\displaystyle \|\varphi -y_{0}\|_{\infty }\leq b}$$ implica $${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq \int _{t_{0}}^{t'}M\,ds=M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b}$$

dónde${\displaystyle t'}$es algún número en${\displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a]}$donde se alcanza el máximo. La última desigualdad de la cadena es verdadera ya que${\displaystyle a<b/M.}$

Ahora vamos a demostrar que${\displaystyle \Gamma }$es una aplicación de contracción como se requiere para aplicar el teorema del punto fijo de Banach . En particular, queremos demostrar que existe${\displaystyle 0\leq q<1,}$de tal manera que $${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }}$$ a pesar de${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})).}$

Dejar${\displaystyle q=aL}$y tomar cualquier${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})).}$ Llevar${\displaystyle t}$de tal manera que

${\displaystyle \|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|.}$

Luego, utilizando la definición de${\displaystyle \Gamma }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&{\text{since }}f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\,ds\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle t-t_{0}\leq a,}$porque los dominios de${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$son ambos${\displaystyle I_{a}(t_{0})\times B_{b}(y_{0}).}$ Por definición,${\displaystyle q=aL,}$y${\displaystyle a<1/L,}$entonces${\displaystyle q<1.}$ Por lo tanto,${\displaystyle \Gamma }$es una contracción.

Hemos establecido que el operador de Picard es una contracción en los espacios de Banach con la métrica inducida por la norma uniforme. Esto nos permite aplicar el teorema del punto fijo de Banach para concluir que el operador tiene un único punto fijo. En particular, existe una única función $\varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ de tal manera que $${\displaystyle \Gamma \varphi =\varphi .}$$ De este modo,${\displaystyle \varphi }$es la solución única del problema de valor inicial, válida en el intervalo${\displaystyle I_{a}.}$

Deseamos eliminar la dependencia del intervalo I _{a con} respecto a L. Para ello, existe un corolario del teorema del punto fijo de Banach: si un operador T ⁿ es una contracción para algún n en N , entonces T tiene un único punto fijo. Antes de aplicar este teorema al operador de Picard, recordemos lo siguiente:

Demostración. Inducción sobre m . Para la base de la inducción ( m = 1 ) ya hemos visto esto, así que supongamos que la desigualdad se cumple para m − 1 , entonces tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(t)-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(t)\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}{\frac {L^{m-1}|s-t_{0}|^{m-1}}{(m-1)!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}}$$

Al tomar un supremo sobre${\displaystyle t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]}$vemos que${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$.

Esta desigualdad asegura que para algún m grande , $${\displaystyle {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,}$$ y por lo tanto Γ ^m será una contracción. Así que por el corolario anterior Γ tendrá un único punto fijo. Finalmente, hemos podido optimizar el intervalo de la solución tomando α = min{ a , ⁠ b / M ⁠ } .

En definitiva, este resultado demuestra que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino únicamente del intervalo de definición del campo y de su valor absoluto máximo.

El teorema de Picard-Lindelöf muestra que la solución existe y que es única. El teorema de existencia de Peano muestra solo existencia, no unicidad, pero asume únicamente que f es continua en y , en lugar de continua de Lipschitz . Por ejemplo, el lado derecho de la ecuación ⁠ dy / dt ⁠ = y ^{⁠ 1 / 3 ⁠} con condición inicial y (0) = 0 es continuo pero no continuo de Lipschitz. De hecho, en lugar de ser única, esta ecuación tiene al menos tres soluciones: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}}$.

Aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory , que demuestra la existencia (en un sentido más general) bajo condiciones más débiles sobre f . Aunque estas condiciones son solo suficientes, también existen condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de valor inicial sea única, como el teorema de Okamura . ^{[ 5 ]}

El teorema de Picard-Lindelöf garantiza que las soluciones a los problemas de valor inicial existen de forma única dentro de un intervalo local.${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$, posiblemente dependiendo de cada solución. El comportamiento de las soluciones más allá de este intervalo local puede variar dependiendo de las propiedades de f y del dominio sobre el cual f está definida. Por ejemplo, si f es globalmente Lipschitz, entonces el intervalo local de existencia de cada solución puede extenderse a toda la recta real y todas las soluciones están definidas sobre todo R.

Si f es solo localmente Lipschitz, algunas soluciones pueden no estar definidas para ciertos valores de t , incluso si f es suave. Por ejemplo, la ecuación diferencial dy/dt = y² con condición inicial y ( 0 ) = 1 ^tiene la solución y ( t ) = 1/(1- t ) , que no está definida en t = 1. Sin embargo, si f es una función diferenciable definida en una subvariedad compacta de Rⁿ tal que la derivada prescrita es tangente a la subvariedad dada, entonces el problema de valor inicial tiene una solución única para todo tiempo. De manera más general, en ^geometría diferencial : si f es un campo vectorial diferenciable definido sobre un dominio que es una variedad suave compacta , entonces todas sus trayectorias ( curvas integrales ) existen para todo tiempo. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

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