Grupo Picard

En matemáticas , el grupo de Picard de un espacio anillado X , denotado por Pic( X ), es el grupo de clases de isomorfismo de haces invertibles (o fibrados de líneas ) sobre X , donde la operación de grupo es el producto tensorial . Esta construcción es una versión global de la construcción del grupo de clases de divisores, o grupo de clases de ideales , y se utiliza ampliamente en geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas .

Alternativamente, el grupo de Picard puede definirse como el grupo de cohomología de haces.

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

Para esquemas integrales, el grupo de Picard es isomorfo al grupo de clases de divisores de Cartier . Para variedades complejas, la sucesión de haces exponenciales proporciona información básica sobre el grupo de Picard.

El nombre es en honor a las teorías de Émile Picard , en particular las de divisores en superficies algebraicas .

• El grupo de Picard del espectro de un dominio de Dedekind es su grupo de clases ideal .
• Los haces invertibles en el espacio proyectivo P ⁿ ( k ) para k un campo , son los haces de torsión${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$por lo tanto, el grupo de Picard de P ⁿ ( k ) es isomorfo a Z .
• El grupo de Picard de la línea afín con dos orígenes sobre k es isomorfo a Z.
• El grupo Picard de la${\displaystyle n}$espacio afín complejo de -dimensiones :${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$, de hecho, la secuencia exponencial produce la siguiente secuencia exacta larga en cohomología

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

y desde${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$^{[ 1 ]} tenemos$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$$porque${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es contraíble, entonces${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$y podemos aplicar el isomorfismo de Dolbeault para calcular${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$por el lema de Dolbeault-Grothendieck .

La construcción de una estructura de esquema en (la versión functor representable de) el grupo de Picard, el esquema de Picard , es un paso importante en la geometría algebraica, en particular en la teoría de la dualidad de las variedades abelianas . Fue construido por Grothendieck (1962) y también descrito por Mumford (1966) y Kleiman (2005) .

En los casos más importantes para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa no singular V sobre un cuerpo de característica cero, la componente conexa de la identidad en el esquema de Picard es una variedad abeliana llamada variedad de Picard y denotada Pic ⁰ ( V ). La dual de la variedad de Picard es la variedad de Albanese , y en el caso particular en que V es una curva, la variedad de Picard es naturalmente isomorfa a la variedad jacobiana de V . Sin embargo, para cuerpos de característica positiva, Igusa construyó un ejemplo de una superficie proyectiva lisa S con Pic ⁰ ( S ) no reducida, y por lo tanto no es una variedad abeliana .

El cociente Pic( V )/Pic₀ ⁽ V ) es un grupo abeliano finitamente generado, denotado NS( V ), el grupo de Néron-Severi de V. En otras palabras, el grupo de Picard se ajusta a una secuencia exacta.

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

El hecho de que el rango de NS( V ) sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi ; el rango es el número de Picard de V , a menudo denotado ρ ( V ). Geométricamente, NS( V ) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V ; es decir, al usar una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de la equivalencia lineal de divisores , la clasificación se vuelve susceptible a invariantes discretos. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica , una clasificación esencialmente topológica mediante números de intersección .

Sea f : X → S un morfismo de esquemas . El functor de Picard relativo (o esquema de Picard relativo si es un esquema) viene dado por: ^{[ 2 ]} para cualquier S -esquema T ,

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

dónde${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$es el cambio de base de f y f _T ^* es el retroceso.

Decimos una L en${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$tiene grado r si para cualquier punto geométrico s → T el retroceso${\displaystyle s^{*}L}$de L a lo largo de s tiene grado r como un haz invertible sobre la fibra X _s (cuando el grado se define para el grupo de Picard de X _s .)

• cohomología de haces
• Variedad de Chow
• Divisor de Cartier
• fibrado de líneas holomorfo
• Grupo de clase ideal
• grupo de clase Arakelov
• Pila de grupos
• Categoría Picard

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence , Séminaire Bourbaki, t. 14: año 1961/62, exposiciones 223-240, núm. 7, Charla no. 232, págs . 143-161 
• Grothendieck, A. (1962), VI. Los esquemas de Picard. Propiedades generales , Séminaire Bourbaki, t. 14: año 1961/62, exposiciones 223-240, núm. 7, Charla no. 236, págs . 221-243 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052  
• Igusa, Jun-Ichi (1955), "Sobre algunos problemas de geometría algebraica abstracta", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 41 (11): 964– 967, Bibcode : 1955PNAS...41..964I , doi : 10.1073/pnas.41.11.964 , PMC 534315 , PMID 16589782  
• Kleiman, Steven L. (2005), "El esquema de Picard", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol.  123, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 235–321 , arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR 2223410  
• Mumford, David (1966), Lecciones sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol.  59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285 , OCLC 171541070  
• Mumford, David (1970), Variedades abelianas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290