Función escalón

En matemáticas, una función definida sobre los números reales se denomina función escalonada si puede expresarse como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de intervalos . En términos informales, una función escalonada es una función constante definida a trozos que solo tiene un número finito de partes.

Una función${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$Se denomina función escalón si se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$para todos los números reales${\displaystyle x}$

dónde${\displaystyle n\geq 0}$,${\displaystyle \alpha _{i}}$son números reales,${\displaystyle A_{i}}$son intervalos y${\displaystyle \chi _{A_{i}}}$es la función indicadora de${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle \chi _{A_{i}}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A_{i}\\0&{\text{if }}x\notin A_{i}\\\end{cases}}}$

En esta definición, los intervalos${\displaystyle A_{i}}$Se puede suponer que tiene las dos propiedades siguientes:

1. Los intervalos son disjuntos dos a dos :${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$para${\displaystyle i\neq j}$
2. La unión de los intervalos es toda la recta real:${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

De hecho, si ese no es el caso desde el principio, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los que se cumplan estas suposiciones. Por ejemplo, la función escalón.

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

se puede escribir como

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

• Una función constante es un ejemplo trivial de función escalonada. Entonces solo hay un intervalo,${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• La función signo sgn( x ) , que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, es la función escalón no constante más simple.
• La función de Heaviside H ( x ) , que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función signo, salvo un desplazamiento y una escala de rango (${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$). Es el concepto matemático que subyace a algunas señales de prueba , como las que se utilizan para determinar la respuesta escalón de un sistema dinámico .

• La función rectangular , la función rectangular normalizada , se utiliza para modelar un pulso unitario.

• La suma y el producto de dos funciones escalonadas también constituyen una función escalonada. El producto de una función escalonada por un número también es una función escalonada. Por lo tanto, las funciones escalonadas forman un álgebra sobre los números reales.
• Una función escalón solo toma un número finito de valores. Si los intervalos${\displaystyle A_{i},}$para${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$En la definición anterior de la función escalón, son disjuntos y su unión es la recta real, entonces${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$a pesar de${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• La integral definida de una función escalonada es una función lineal a trozos .
• La integral de Lebesgue de una función escalón${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$es${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$dónde${\displaystyle \ell (A)}$es la longitud del intervalo${\displaystyle A}$y aquí se supone que todos los intervalos${\displaystyle A_{i}}$tienen longitud finita. De hecho, esta igualdad (vista como una definición) puede ser el primer paso para construir la integral de Lebesgue. ^{[ 7 ]}
• Una variable aleatoria discreta se define a veces como una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es constante a trozos. ^{[ 8 ]} En este caso, localmente es una función escalonada (globalmente, puede tener un número infinito de pasos). Sin embargo, por lo general, cualquier variable aleatoria con solo un número contable de valores posibles se denomina variable aleatoria discreta; en este caso, su función de distribución acumulativa no es necesariamente localmente una función escalonada, ya que se pueden acumular infinitos intervalos en una región finita.

• Función de almena
• Por partes
• función sigmoide
• Función simple
• Detección de pasos
• función escalón de Heaviside
• Valoración constante por partes