función lineal por partes

En matemáticas , una función lineal a trozos o segmentada es una función de valor real de una variable real, cuya gráfica está compuesta por segmentos de línea recta . ^{[ 1 ]}

Una función lineal a trozos es una función definida en un intervalo (posiblemente ilimitado) de números reales , de tal manera que existe un conjunto de intervalos en cada uno de los cuales la función es una función afín . (Por lo tanto, "lineal a trozos" se define en realidad como " afín a trozos "). Si el dominio de la función es compacto , debe existir un conjunto finito de dichos intervalos; si el dominio no es compacto, puede requerirse que sea finito o localmente finito en los números reales.

La función definida por

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{si }}x\leq -3\\x+3&{\text{si }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{si }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{si }}x\geq 3\end{cases}}}$

es lineal a trozos con cuatro partes. La gráfica de esta función se muestra a la derecha. Dado que la gráfica de una función afín (*) es una línea , la gráfica de una función lineal a trozos consta de segmentos de línea y rayos . Los valores de x (en el ejemplo anterior −3, 0 y 3) donde cambia la pendiente se denominan típicamente puntos de quiebre, puntos de cambio, valores umbral o nodos. Como en muchas aplicaciones, esta función también es continua. La gráfica de una función lineal a trozos continua en un intervalo compacto es una cadena poligonal .

(*) Una función lineal satisface por definición${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$y por lo tanto en particular${\displaystyle f(0)=0}$; las funciones cuya gráfica es una línea recta son afines en lugar de lineales .

Existen otros ejemplos de funciones lineales a trozos:

• Valor absoluto ^{[ 2 ]}
• Función de diente de sierra
• Función de piso
• Función escalonada , una función compuesta por subfunciones constantes, por lo que también se denomina función constante a trozos.
  • función de vagón de carga ,
  • Función escalón de Heaviside ^{[ 2 ]}
  • función signo
• Función triangular

Se puede obtener una aproximación a una curva conocida mediante el muestreo de la curva y la interpolación lineal entre los puntos. Se ha publicado un algoritmo para calcular los puntos más significativos sujetos a una tolerancia de error dada. ^{[ 3 ]}

Si las particiones y, por consiguiente, los puntos de ruptura, ya se conocen, se puede realizar una regresión lineal de forma independiente sobre dichas particiones. Sin embargo, en ese caso no se conserva la continuidad, y tampoco existe un modelo de referencia único subyacente a los datos observados. Se ha desarrollado un algoritmo estable para este caso. ^{[ 4 ]}

Si no se conocen las particiones, se puede utilizar la suma de cuadrados residuales para elegir puntos de separación óptimos. ^{[ 5 ]} Sin embargo, se puede obtener un cálculo eficiente y una estimación conjunta de todos los parámetros del modelo (incluidos los puntos de ruptura) mediante un procedimiento iterativo ^{[ 6 ]} actualmente implementado en el paquete segmented^{[ 7 ]} para el lenguaje R.

Una variante del aprendizaje de árboles de decisión llamada árboles modelo aprende funciones lineales por partes. ^{[ 8 ]}

La noción de función lineal a trozos tiene sentido en diversos contextos. Las funciones lineales a trozos pueden definirse en el espacio euclidiano n -dimensional , o, de forma más general, en cualquier espacio vectorial o afín , así como en variedades lineales a trozos y complejos simpliciales (véase aplicación simplicial ). En cada caso, la función puede tener valores reales o tomar valores de un espacio vectorial, un espacio afín, una variedad lineal a trozos o un complejo simplicial. (En estos contextos, el término «lineal» no se refiere únicamente a transformaciones lineales , sino también a funciones lineales afines más generales ).

En dimensiones superiores a uno, es común exigir que el dominio de cada segmento sea un polígono o un politopo . Esto garantiza que la gráfica de la función estará compuesta por segmentos poligonales o politopales.

Las funciones spline generalizan las funciones lineales por partes a polinomios de orden superior, que a su vez son generalizados por funciones suaves por partes y diferenciables por partes.

Las subclases importantes de funciones lineales a trozos incluyen las funciones lineales a trozos continuas y las funciones lineales a trozos convexas . En general, para cada función lineal a trozos continua de dimensión n${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, hay un

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

de tal manera que

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$^{[ 9 ]}

Si${\displaystyle f}$es convexo y continuo, entonces hay un

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

de tal manera que

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$

En agricultura, el análisis de regresión segmentada de los datos medidos se utiliza para detectar el rango en el que los factores de crecimiento afectan al rendimiento y el rango en el que el cultivo no es sensible a los cambios en estos factores.

La imagen de la izquierda muestra que en niveles freáticos poco profundos el rendimiento disminuye, mientras que en niveles freáticos más profundos (> 7 dm) el rendimiento no se ve afectado. El gráfico se elaboró ​​utilizando el método de mínimos cuadrados para encontrar los dos segmentos que mejor se ajustan .

El gráfico de la derecha muestra que los cultivos toleran una salinidad del suelo de hasta ECe = 8 dS/m (ECe es la conductividad eléctrica de un extracto de una muestra de suelo saturado), mientras que por encima de ese valor la producción disminuye. El gráfico se elaboró ​​mediante regresión parcial para determinar el rango más amplio de "sin efecto", es decir, donde la línea es horizontal. Los dos segmentos no tienen por qué unirse en el mismo punto. Solo para el segundo segmento se utiliza el método de mínimos cuadrados.

• Interpolación lineal
• interpolación spline
• Geometría tropical
• Cadena poligonal

• Apps, P., Long, N., & Rees, R. (2014). Impuesto óptimo sobre la renta lineal por tramos . Journal of Public Economic Theory , 16 (4), 523–545.