Secuencia de Pillai

La secuencia de Pillai es la secuencia de números enteros que tienen un número récord de términos en sus representaciones voraces como sumas de números primos (y uno). Recibe su nombre en honor a Subbayya Sivasankaranarayana Pillai , quien la definió por primera vez en 1930. ^[1]

De la conjetura de Goldbach se desprendería que todo entero mayor que uno puede representarse como una suma de, como máximo, tres números primos . Sin embargo, encontrar una representación de este tipo podría implicar resolver instancias del problema de la suma de subconjuntos , que es computacionalmente difícil. En cambio, Pillai consideró el siguiente algoritmo voraz más simple para encontrar una representación de como una suma de primos: elegir el primer primo en la suma como el primo más grande que sea como máximo , y luego construir recursivamente la suma restante recursivamente para . Si este proceso llega a cero, se detiene. Y si llega a uno en lugar de cero, debe incluir uno en la suma (aunque no sea primo) y luego se detiene. Por ejemplo, este algoritmo representa 122 como 113 + 7 + 2, aunque también son posibles las representaciones más cortas 61 + 61 o 109 + 13. ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización np}$

El número n.º de la secuencia de Pillai es el número más pequeño cuya representación voraz como suma de primos (y uno) requiere términos. Estos números son ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización n}$

0, 1, 4, 27, 1354, 401429925999155061, ... (secuencia A066352 en la OEIS )

Cada número en la secuencia es la suma del número anterior con un número primo , el primo más pequeño cuyo siguiente espacio primo es mayor que . ^[2] Por ejemplo, el número 27 en la secuencia es 4 + 23, donde el primer espacio primo mayor que 4 es el que está entre 23 y 29. $a(n)$ $a(n-1)$ ${\estilo de visualización p}$ $a(n-1)$

Como los números primos se vuelven menos densos a medida que se hacen más grandes (como se cuantifica mediante el teorema de los números primos ), siempre hay un espacio entre primos mayor que cualquier término en la secuencia de Pillai, por lo que la secuencia continúa hasta un número infinito de términos. Sin embargo, los términos en la secuencia crecen muy rápidamente. Se ha estimado que expresar el siguiente término en la secuencia requeriría "cientos de millones de dígitos". ^[3]

Referencias

^ Pillai, SS (1930), "Una función aritmética relacionada con los números primos", Annamalai University Journal : 159–167. Según lo citado por Luca y Thangadurai (2009).
^ Luca, Florián ; Thangadurai, Ravindranathan (2009), "Sobre una función aritmética considerada por Pillai", Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux , 21 (3): 693–699, doi : 10.5802/jtnb.695 , MR 2605540
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A066352 (secuencia de Pillai)", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation

[1] Pillai, SS (1930), "Una función aritmética relacionada con los números primos", Annamalai University Journal : 159–167. Según lo citado por Luca y Thangadurai (2009).

[2] Luca, Florián ; Thangadurai, Ravindranathan (2009), "Sobre una función aritmética considerada por Pillai", Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux , 21 (3): 693–699, doi : 10.5802/jtnb.695 , MR 2605540

[3] Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A066352 (secuencia de Pillai)", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation