Modelo de cámara estenopeica

En visión artificial y gráficos 3D por computadora , el modelo de cámara estenopeica describe la relación matemática entre las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional y su proyección sobre el plano de imagen de una cámara estenopeica ideal , donde la apertura de la cámara se describe como un punto y no se utilizan lentes para enfocar la luz.

El modelo no incluye, por ejemplo, distorsiones geométricas ni desenfoque de objetos desenfocados causados ​​por lentes y aperturas de área finita. ^{[ 1 ]} Tampoco considera que la mayoría de las cámaras prácticas solo tienen coordenadas de imagen discretas ( índices de píxeles ). Esto significa que el modelo de cámara estenopeica solo puede utilizarse como una aproximación de primer orden del mapeo de una escena 3D a un plano de imagen. Su validez depende de la calidad de la cámara y, en general, disminuye desde el centro hacia los bordes de la imagen, a medida que aumentan los efectos de distorsión de la lente.

Algunos de los efectos que el modelo de cámara estenopeica no considera pueden compensarse, por ejemplo, aplicando transformaciones de coordenadas adecuadas a las coordenadas de la imagen; otros efectos son lo suficientemente pequeños como para ignorarse si se utiliza una cámara de alta calidad. Esto significa que el modelo de cámara estenopeica suele ser una descripción razonable de cómo una cámara representa una escena 3D.

La geometría relacionada con el mapeo de una cámara estenopeica se ilustra en la figura. La figura contiene los siguientes objetos básicos:

• Un sistema de coordenadas ortogonales tridimensional con origen en O. Aquí también se ubica la apertura de la cámara . Los tres ejes del sistema de coordenadas se denominan X1, X2 y X3. El eje X3 apunta en la dirección de visión de la cámara y se conoce como eje óptico , eje principal o rayo principal . El plano definido por los ejes X1 y X2 es la parte frontal de la cámara, o plano principal .
• Un plano de imagen, donde el mundo 3D se proyecta a través de la apertura de la cámara. El plano de imagen es paralelo a los ejes X1 y X2 y está ubicado a distancia${\displaystyle f}$desde el origen O en la dirección negativa del eje X3, donde f es la distancia focal de la cámara estenopeica. Una implementación práctica de una cámara estenopeica implica que el plano de la imagen se ubica de manera que interseca el eje X3 en la coordenada -f donde f > 0 .
• Un punto R en la intersección del eje óptico y el plano de la imagen. Este punto se denomina punto principal ^{[ 2 ]} o centro de la imagen .
• Un punto P en algún lugar del mundo en la coordenada${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$en relación con los ejes X1, X2 y X3.
• La línea de proyección del punto P en la cámara. Esta es la línea verde que pasa por el punto P y el punto O.
• La proyección del punto P sobre el plano de la imagen, denotada por Q. Este punto viene dado por la intersección de la línea de proyección (verde) y el plano de la imagen. En cualquier situación práctica podemos suponer que${\displaystyle x_{3}}$> 0, lo que significa que el punto de intersección está bien definido.
• También hay un sistema de coordenadas 2D en el plano de la imagen, con origen en R y con ejes Y1 e Y2 que son paralelos a X1 y X2, respectivamente. Las coordenadas del punto Q con respecto a este sistema de coordenadas son:${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$.

Se supone que la apertura estenopeica de la cámara, a través de la cual deben pasar todas las líneas de proyección, es infinitesimalmente pequeña, un punto. En la literatura, este punto en el espacio 3D se denomina centro óptico (o de la lente o de la cámara) . ^{[ 3 ]}

A continuación queremos entender cómo las coordenadas${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$del punto Q dependen de las coordenadas${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$del punto P. Esto se puede hacer con la ayuda de la siguiente figura, que muestra la misma escena que la figura anterior, pero ahora desde arriba, mirando hacia abajo en la dirección negativa del eje X2.

En esta figura vemos dos triángulos semejantes , ambos con partes de la línea de proyección (verde) como sus hipotenusas . Los catetos del triángulo izquierdo son${\displaystyle -y_{1}}$y f y los catetos del triángulo rectángulo son${\displaystyle x_{1}}$y${\displaystyle x_{3}}$Dado que los dos triángulos son semejantes, se deduce que

${\displaystyle {\frac {-y_{1}}{f}}={\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$o${\displaystyle y_{1}=-{\frac {f\,x_{1}}{x_{3}}}}$

Una investigación similar, mirando en la dirección negativa del eje X1, da como resultado:

${\displaystyle {\frac {-y_{2}}{f}}={\frac {x_{2}}{x_{3}}}}$o${\displaystyle y_{2}=-{\frac {f\,x_{2}}{x_{3}}}}$

Esto se puede resumir como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=-{\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

que es una expresión que describe la relación entre las coordenadas 3D${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$del punto P y sus coordenadas de imagen${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$dada por el punto Q en el plano de la imagen.

El mapeo de coordenadas 3D de puntos en el espacio a coordenadas de imagen 2D también puede representarse en coordenadas homogéneas .${\displaystyle \mathbf {x} }$Sea una representación de un punto 3D en coordenadas homogéneas (un vector de 4 dimensiones), y sea${\displaystyle \mathbf {y} }$Sea una representación de la imagen de este punto en la cámara estenopeica (un vector tridimensional). Entonces se cumple la siguiente relación.

${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {C} }$es el${\displaystyle 3\times 4}$matriz de la cámara y la${\displaystyle \,\sim }$significa igualdad entre elementos de espacios proyectivos . Esto implica que los lados izquierdo y derecho son iguales salvo una multiplicación escalar distinta de cero. Una consecuencia de esta relación es que también${\displaystyle \mathbf {C} }$puede verse como un elemento de un espacio proyectivo ; dos matrices de cámara son equivalentes si son iguales salvo una multiplicación escalar. Esta descripción del mapeo de la cámara estenopeica, como una transformación lineal${\displaystyle \mathbf {C} }$en lugar de como una fracción de dos expresiones lineales, permite simplificar muchas derivaciones de relaciones entre coordenadas 3D y 2D.

• resección de la cámara
• ecuación de colinealidad
• Pupila de entrada , la ubicación equivalente del orificio estenopeico en relación con el espacio del objeto en una cámara real.
• Pupila de salida , la ubicación equivalente del orificio estenopeico en relación con el plano de la imagen en una cámara real.
• Ibn al-Haytham
• Cámara estenopeica : la implementación práctica del modelo matemático descrito en este artículo.
• Lente rectilínea

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