tensores de tensión de Piola-Kirchhoff

En el caso de deformaciones finitas , los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff (llamados así por Gabrio Piola y Gustav Kirchhoff ) expresan la tensión relativa a la configuración de referencia. Esto contrasta con el tensor de tensión de Cauchy , que expresa la tensión relativa a la configuración actual. Para deformaciones y rotaciones infinitesimales, los tensores de Cauchy y Piola-Kirchhoff son idénticos. Mientras que el tensor de tensión de Cauchy${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$relaciona las tensiones en la configuración actual, el gradiente de deformación y los tensores de deformación se describen relacionando el movimiento con la configuración de referencia; por lo tanto, no todos los tensores que describen el estado del material están en la configuración de referencia o actual. Describir la tensión, la deformación y la deformación ya sea en la configuración de referencia o actual facilitaría la definición de modelos constitutivos (por ejemplo, el tensor de tensión de Cauchy es variable a una rotación pura, mientras que el tensor de deformación es invariante; por lo tanto, crea problemas al definir un modelo constitutivo que relaciona un tensor variable, en términos de uno invariante durante la rotación pura; ya que por definición los modelos constitutivos tienen que ser invariantes a rotaciones puras). El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff,${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$es una posible solución a este problema. Define una familia de tensores que describen la configuración del cuerpo en el estado actual o en el estado de referencia.

El primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff ,${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$, relaciona las fuerzas en la configuración presente ("espacial") con las áreas en la configuración de referencia ("material").

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$es el gradiente de deformación y${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}}$es el determinante jacobiano . En términos de componentes con respecto a una base ortonormal , la primera tensión de Piola-Kirchhoff viene dada por

${\displaystyle P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{k}}}~\,\!}$

Debido a que relaciona diferentes sistemas de coordenadas, la primera tensión de Piola-Kirchhoff es un tensor de dos puntos . En general, no es simétrico. La primera tensión de Piola-Kirchhoff es la generalización tridimensional del concepto unidimensional de tensión de ingeniería . Si el material rota sin que cambie su estado de tensión (rotación rígida), los componentes del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff variarán con la orientación del material. La primera tensión de Piola-Kirchhoff es la energía conjugada al gradiente de deformación. Relaciona las fuerzas en la configuración actual con las áreas en la configuración de referencia.

El segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff ,${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$, relaciona las fuerzas en la configuración de referencia con las áreas en la configuración de referencia. La fuerza en la configuración de referencia se obtiene mediante un mapeo que preserva la relación relativa entre la dirección de la fuerza y ​​la normal al área en la configuración de referencia.

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}$

En notación de índices con respecto a una base ortonormal,

${\displaystyle S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{m}}}~\sigma _{km}\!\,\!}$

Este tensor, un tensor de un punto, es simétrico. Si el material rota sin un cambio en el estado de tensión (rotación rígida), los componentes del segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff permanecen constantes, independientemente de la orientación del material. El segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff es conjugado energéticamente al tensor de deformación finita de Green-Lagrange .

• J. Bonet y RW Wood, Mecánica de medios continuos no lineales para el análisis de elementos finitos , Cambridge University Press.