Juego de piratas

El juego de los piratas es un juego matemático sencillo . Es una versión multijugador del juego del ultimátum .

Hay cinco piratas racionales (en estricto orden descendente de antigüedad: A, B, C, D y E) que encontraron 100 monedas de oro. Deben decidir cómo distribuirlas.

Las reglas de distribución del mundo pirata establecen que el pirata de mayor rango propone primero un plan de distribución. Los piratas, incluido el proponente, votan si aceptan o no dicho plan. Si la mayoría lo aprueba, se reparten las monedas y termina el juego. En caso de empate, el proponente tiene el voto decisivo . Si la mayoría lo rechaza, el proponente es arrojado por la borda del barco pirata y muere, y el siguiente pirata de mayor rango presenta una nueva propuesta para reiniciar el sistema. El proceso se repite hasta que se acepta un plan o hasta que solo queda un pirata. ^{[ 1 ]}

Los piratas basan sus decisiones en cuatro factores:

1. Cada pirata quiere sobrevivir.
2. En aras de la supervivencia, cada pirata quiere maximizar la cantidad de monedas de oro que recibe.
3. Cada pirata preferiría arrojar a otro por la borda, si todos los demás resultados fueran iguales. ^{[ 2 ]}
4. Los piratas no confían entre sí y no harán ni cumplirán ninguna promesa entre ellos, salvo un plan de distribución propuesto que otorga una cantidad entera de monedas de oro a cada pirata.

Para aumentar las probabilidades de que su plan sea aceptado, cabría esperar que el Pirata A ofreciera a los demás piratas la mayor parte del oro. Sin embargo, esto dista mucho del resultado teórico. Al votar, cada pirata no solo considerará la propuesta actual, sino también posibles resultados futuros. Además, el orden de antigüedad se conoce de antemano, por lo que cada uno puede predecir con precisión cómo votarán los demás en cualquier escenario. Esto se hace evidente si analizamos la situación a la inversa.

El último escenario posible implicaría que todos los piratas, excepto D y E, fueran arrojados por la borda. Dado que D es mayor que E, tiene el voto decisivo ; por lo tanto, D propondría quedarse con 100 para sí mismo y 0 para E.

Si quedan tres (C, D y E), C sabe que D le ofrecerá 0 a E en la siguiente ronda; por lo tanto, C debe ofrecerle una moneda a E en esta ronda para ganar su voto. En consecuencia, cuando solo quedan tres, la distribución es C:99, D:0, E:1.

Si B, C, D y E permanecen, B puede ofrecer 1 a D; dado que B tiene el voto decisivo, solo se requiere el voto de D. Por lo tanto, B propone B:99, C:0, D:1, E:0.

(En la ronda anterior, se podría considerar proponer B:99, C:0, D:0, E:1, ya que E sabe que no será posible obtener más monedas, si es que obtiene alguna, si arroja a B por la borda. Pero, como cada pirata está ansioso por arrojar a los demás por la borda, E preferiría matar a B para obtener la misma cantidad de oro de C.)

Con este conocimiento, A puede contar con el apoyo de C y E para la siguiente asignación, que es la solución final:

• A: 98 monedas
• B: 0 monedas
• C: 1 moneda
• D: 0 monedas
• E: 1 moneda ^{[ 2 ]}

(Nota: A:98, B:0, C:0, D:1, E:1 u otras variantes no son suficientes, ya que D preferiría tirar a A por la borda para obtener la misma cantidad de oro de B).

La solución sigue el mismo patrón general para otras cantidades de piratas y/o monedas. Sin embargo, el juego cambia de naturaleza cuando se extiende más allá de que haya el doble de piratas que de monedas. Ian Stewart escribió sobre la extensión de Steve Omohundro a una cantidad arbitraria de piratas en la edición de mayo de 1999 de Scientific American y describió el patrón bastante intrincado que emerge en la solución. ^{[ 2 ]}

Suponiendo que solo hay 100 piezas de oro, entonces:

• El pirata número 201, como capitán, solo puede mantenerse con vida ofreciendo todo el oro, una unidad a cada uno de los piratas con los números impares más bajos , sin quedarse con nada.
• El pirata n.° 202, como capitán, solo puede sobrevivir si no acepta oro y ofrece una moneda a cada uno de los 100 piratas que no aceptarían una moneda de oro del n.° 201. Por lo tanto, hay 101 posibles receptores de estos sobornos de una moneda de oro: los 100 piratas pares hasta el 200 y el n.° 201. Dado que no hay restricciones sobre cuáles de estos 101 piratas elegirán, cualquier elección es igualmente válida y puede considerarse que eligen al azar. Así es como el azar comienza a influir en las decisiones de los piratas de mayor rango.
• El pirata número 203, como capitán, no tendrá suficiente oro para sobornar a la mayoría y, por lo tanto, morirá.
• El pirata n.° 204, como capitán, tiene asegurado el voto del n.° 203 sin sobornos: el n.° 203 solo sobrevivirá si el n.° 204 también sobrevive. Por lo tanto, el n.° 204 puede mantenerse a salvo alcanzando 102 votos sobornando a 100 piratas con una moneda de oro cada uno. Esto parece funcionar mejor sobornando a los piratas con números impares , incluyendo opcionalmente al n.° 202, quien no recibirá nada del n.° 203. Sin embargo, también podría ser posible sobornar a otros, ya que solo tienen una probabilidad de 100/101 de que el pirata n.° 202 les ofrezca una moneda de oro.
• Con 205 piratas, todos los piratas excepto el número 205 prefieren matar al número 205 a menos que se les dé oro, por lo que el número 205 está condenado como capitán.
• De manera similar, con los piratas 206 o 207, solo se aseguran los votos del #205 al #206/7 sin oro, lo cual es insuficiente, por lo que el #206 y el #207 también están condenados.
• Para 208 piratas, los votos de autopreservación de #205, #206 y #207 sin ningún oro son suficientes para permitir que #208 alcance 104 votos y sobreviva.

En general, si G es el número de piezas de oro y N (> 2G) es el número de piratas, entonces

• Sobrevivirán todos los piratas cuyo número sea menor o igual a 2G + M, donde M es la mayor potencia de 2 que no exceda N – 2G.
• Cualquier pirata cuyo número supere los 2G + M morirá.
• Cualquier pirata cuyo número sea mayor que 2G + M/2 no recibirá oro.
• No existe una solución única para determinar quién recibe una moneda de oro y quién no si el número de piratas es 2G+2 o mayor. Una solución sencilla consiste en repartir una moneda de oro entre los piratas pares o impares hasta un máximo de 2G, dependiendo de si M es una potencia par o impar de 2.

Otra forma de ver esto es darse cuenta de que cada pirata M tendrá el voto de todos los piratas desde M/2 + 1 hasta M por autopreservación ya que su supervivencia está asegurada solo con la supervivencia del pirata M. Debido a que el pirata de mayor rango puede romper el empate, el capitán solo necesita los votos de la mitad de los piratas mayores de 2G, lo que solo sucede cada vez que se alcanza (2G + una potencia de 2 ). Por ejemplo, con 100 piezas de oro y 500 piratas, los piratas #500 a #457 mueren, y luego el #456 sobrevive (ya que 456 = 200 + 2 ⁸ ) porque tiene los 128 votos de autopreservación garantizados de los piratas #329 a #456, más 100 votos de los piratas que soborna, lo que hace los 228 votos que necesita. Los números de piratas más allá del #200 que pueden garantizar su supervivencia como capitán con 100 piezas de oro son #201, #202, #204, #208, #216, #232, #264, #328, #456, #712, etc.: están separados por cadenas cada vez más largas de piratas que están condenados sin importar qué división propongan.

• Resolución creativa de problemas
• Pensamiento lateral

• Robert E. Goodin, ed. (1998). «Capítulo 3: Teorías de segunda mejor opción». La teoría del diseño institucional . Cambridge University Press. pp. 90–102 . ISBN  978-0-521-63643-8.