Juego de piratas

El juego de los piratas es un juego matemático sencillo . Es una versión para varios jugadores del juego del ultimátum .

Hay cinco piratas racionales (en estricto orden decreciente de antigüedad A, B, C, D y E) que encontraron 100 monedas de oro. Deben decidir cómo distribuirlas.

Las reglas de distribución del mundo pirata establecen que el pirata de mayor antigüedad propone primero un plan de distribución. Los piratas, incluido el proponente, votan después si aceptan o no esta distribución. Si la mayoría acepta el plan, se reparten las monedas y el juego termina. En caso de empate, el proponente tiene voto decisivo . Si la mayoría rechaza el plan, el proponente es arrojado por la borda del barco pirata y muere, y el siguiente pirata de mayor antigüedad hace una nueva propuesta para comenzar el sistema de nuevo. El proceso se repite hasta que se acepta un plan o si queda un pirata. ^[1]

Los piratas basan sus decisiones en cuatro factores:

1. Cada pirata quiere sobrevivir.
2. Dada la supervivencia, cada pirata quiere maximizar la cantidad de monedas de oro que recibe.
3. Cada pirata preferiría arrojar a otro por la borda, si todos los demás resultados fueran iguales. ^[2]
4. Los piratas no confían entre sí y no harán ni cumplirán ninguna promesa entre piratas, excepto un plan de distribución propuesto que otorga una cantidad entera de monedas de oro a cada pirata.

Para aumentar las posibilidades de que su plan sea aceptado, se podría esperar que el Pirata A tenga que ofrecer a los demás piratas la mayor parte del oro. Sin embargo, esto está lejos del resultado teórico. Cuando cada uno de los piratas vote, no solo estará pensando en la propuesta actual, sino también en otros resultados futuros. Además, el orden de antigüedad se conoce de antemano, por lo que cada uno de ellos puede predecir con precisión cómo votarán los demás en cualquier escenario. Esto se hace evidente si trabajamos al revés.

El último escenario posible sería que todos los piratas, excepto D y E, fueran arrojados por la borda. Como D es superior a E, tiene el voto decisivo ; por lo tanto, D propondría quedarse con 100 para él y 0 para E.

Si quedan tres (C, D y E), C sabe que D ofrecerá 0 a E en la siguiente ronda; por lo tanto, C tiene que ofrecer una moneda a E en esta ronda para ganar el voto de E. Por lo tanto, cuando solo quedan tres, la asignación es C:99, D:0, E:1.

Si quedan B, C, D y E, B puede ofrecer 1 a D; como B tiene voto de calidad, solo se requiere el voto de D. Por lo tanto, B propone B:99, C:0, D:1, E:0.

(En la ronda anterior, uno podría considerar proponer B:99, C:0, D:0, E:1, ya que E sabe que no será posible obtener más monedas, si es que obtiene alguna, si E arroja a B por la borda. Pero, como cada pirata está ansioso por arrojar a los demás por la borda, E preferiría matar a B, para obtener la misma cantidad de oro de C.)

Con este conocimiento, A puede contar con el apoyo de C y E para la siguiente asignación, que es la solución final:

• A: 98 monedas
• B: 0 monedas
• C: 1 moneda
• D: 0 monedas
• E: 1 moneda ^[2]

(Nota: A:98, B:0, C:0, D:1, E:1 u otras variantes no son lo suficientemente buenas, ya que D preferiría arrojar a A por la borda para obtener la misma cantidad de oro de B).

La solución sigue el mismo patrón general para otras cantidades de piratas y/o monedas. Sin embargo, el juego cambia de carácter cuando se extiende más allá del hecho de que hay el doble de piratas que de monedas. Ian Stewart escribió sobre la extensión de Steve Omohundro a una cantidad arbitraria de piratas en la edición de mayo de 1999 de Scientific American y describió el patrón bastante intrincado que surge en la solución. ^[2]

Suponiendo que sólo hay 100 piezas de oro, entonces:

• El pirata n.° 201, como capitán, solo puede permanecer con vida si ofrece todo el oro a cada uno de los piratas con el número impar más bajo y no se queda con ninguno.
• El pirata n.° 202, como capitán, puede seguir con vida solo si no acepta oro y ofrece un oro a cada 100 piratas que no reciban una moneda de oro del n.° 201. Por lo tanto, hay 101 posibles destinatarios de estos sobornos de una moneda de oro, que son los 100 piratas pares hasta el 200 y el número n.° 201. Como no hay restricciones en cuanto a cuáles de estos 101 piratas elegirán, cualquier elección es igualmente buena y se puede pensar que eligen al azar. Así es como el azar comienza a entrar en las consideraciones para los piratas con números más altos.
• El pirata #203 como capitán no tendrá suficiente oro disponible para sobornar a la mayoría, por lo que morirá.
• El pirata n.° 204, como capitán, tiene asegurado el voto de n.° 203 sin sobornos: n.° 203 solo sobrevivirá si n.° 204 también sobrevive. Por lo tanto, n.° 204 puede permanecer a salvo al alcanzar 102 votos sobornando a 100 piratas con una moneda de oro a cada uno. Parece más probable que esto funcione sobornando a los piratas impares , incluido opcionalmente n.° 202, que no recibirá nada de n.° 203. Sin embargo, también es posible sobornar a otros en su lugar, ya que solo tienen una probabilidad de 100/101 de que el pirata n.° 202 les ofrezca una moneda de oro.
• Con 205 piratas, todos los piratas excepto el n.° 205 prefieren matar al n.° 205 a menos que les den oro, por lo que el n.° 205 está condenado como capitán.
• De manera similar con los piratas 206 o 207, solo los votos del #205 al #206/7 están asegurados sin oro, lo cual no es suficiente, por lo que #206 y #207 también están condenados.
• Para 208 piratas, los votos de autoconservación de #205, #206 y #207 sin oro son suficientes para permitir que #208 alcance los 104 votos y sobreviva.

En general, si G es el número de piezas de oro y N (> 2G) es el número de piratas, entonces

• Sobrevivirán todos los piratas cuyo número sea menor o igual a 2G + M, donde M es la mayor potencia de 2 que no exceda N – 2G.
• Cualquier pirata cuyo número exceda 2G + M morirá.
• Cualquier pirata cuyo número sea mayor que 2G + M/2 no recibirá oro.
• No existe una solución única para determinar quién recibe una moneda de oro y quién no si el número de piratas es 2G+2 o mayor. Una solución sencilla es repartir una moneda de oro a los piratas pares o impares hasta 2G, dependiendo de si M es una potencia par o impar de 2.

Otra forma de ver esto es darse cuenta de que cada pirata M tendrá el voto de todos los piratas desde M/2 + 1 hasta M por autopreservación ya que su supervivencia está asegurada solo con la supervivencia del pirata M. Debido a que el pirata de mayor rango puede romper el empate, el capitán solo necesita los votos de la mitad de los piratas sobre 2G, lo que solo sucede cada vez que se alcanza (2G + una potencia de 2 ). Por ejemplo, con 100 piezas de oro y 500 piratas, los piratas del n.° 500 al n.° 457 mueren, y luego el n.° 456 sobrevive (ya que 456 = 200 + 2 ⁸ ) ya que tienen los 128 votos de autopreservación garantizados de los piratas del n.° 329 al n.° 456, más 100 votos de los piratas a los que sobornan, lo que constituye los 228 votos que necesitan. Los números de piratas después de #200 que pueden garantizar su supervivencia como capitán con 100 piezas de oro son #201, #202, #204, #208, #216, #232, #264, #328, #456, #712, etc.: están separados por cadenas cada vez más largas de piratas que están condenados sin importar qué división propongan.

• Resolución creativa de problemas
• Pensamiento lateral

• Robert E. Goodin, ed. (1998). "Capítulo 3: Teorías de segunda mejor calidad". La teoría del diseño institucional . Cambridge University Press. pp. 90–102. ISBN 978-0-521-63643-8.