Teoría de conjuntos (música)

La teoría de conjuntos musicales proporciona conceptos para categorizar objetos musicales y describir sus relaciones. Howard Hanson fue el primero en desarrollar muchos de los conceptos para analizar la música tonal . ^{[ 2 ]} Otros teóricos, como Allen Forte , desarrollaron aún más la teoría para analizar la música atonal , ^{[ 3 ]} basándose en la teoría dodecafónica de Milton Babbitt . Los conceptos de la teoría de conjuntos musicales son muy generales y pueden aplicarse a estilos tonales y atonales en cualquier sistema de afinación de temperamento igual , y en cierta medida de forma más general.

Una rama de la teoría de conjuntos musicales se ocupa de colecciones ( conjuntos y permutaciones ) de alturas y clases de alturas ( teoría de conjuntos de clases de alturas ), que pueden ser ordenadas o desordenadas , y que pueden relacionarse mediante operaciones musicales como la transposición , la inversión melódica y la complementación . Algunos teóricos también aplican los métodos de la teoría de conjuntos musicales al análisis del ritmo .

Aunque a menudo se piensa que la teoría musical de conjuntos implica la aplicación de la teoría matemática de conjuntos a la música, existen numerosas diferencias entre los métodos y la terminología de ambas. Por ejemplo, los músicos utilizan los términos transposición e inversión, mientras que los matemáticos usarían traslación y reflexión . Además, mientras que la teoría musical de conjuntos se refiere a conjuntos ordenados, las matemáticas normalmente se refieren a tuplas o secuencias (si bien las matemáticas sí hablan de conjuntos ordenados , y aunque estos pueden considerarse que incluyen los conjuntos musicales en cierto sentido, son mucho más complejos).

Además, la teoría de conjuntos musicales está más relacionada con la teoría de grupos y la combinatoria que con la teoría matemática de conjuntos, que se ocupa de cuestiones como, por ejemplo, los distintos tamaños de conjuntos infinitamente grandes. En combinatoria, un subconjunto no ordenado de n objetos, como las clases de altura , se denomina combinación , y un subconjunto ordenado, permutación . La teoría de conjuntos musicales se considera mejor una aplicación de la combinatoria a la teoría musical que una rama de la teoría matemática de conjuntos. Su principal conexión con la teoría matemática de conjuntos reside en el uso del vocabulario de esta última para hablar de conjuntos finitos. ^{[ 4 ]}

El concepto fundamental de la teoría de conjuntos musicales es el conjunto (musical), que es una colección no ordenada de clases de altura. ^{[ 5 ]} Más precisamente, un conjunto de clases de altura es una representación numérica que consta de enteros distintos (es decir, sin duplicados). ^{[ 6 ]} Los elementos de un conjunto pueden manifestarse en la música como acordes simultáneos , tonos sucesivos (como en una melodía) o ambos. Las convenciones de notación varían de un autor a otro, pero los conjuntos suelen ir encerrados entre llaves: {}, ^{[ 7 ]} o corchetes: []. ^{[ 6 ]}

Algunos teóricos usan corchetes angulares ⟨ ⟩ para denotar secuencias ordenadas, ^{[ 8 ]} mientras que otros distinguen conjuntos ordenados separando los números con espacios. ^{[ 9 ]} Así, se podría notar el conjunto no ordenado de clases de altura 0, 1 y 2 (que corresponden en este caso a C, C ♯ y D) como {0,1,2}. La secuencia ordenada CC ♯ -D se notaría ⟨ 0,1,2 ⟩ o (0,1,2). Aunque C se considera cero en este ejemplo, no siempre es así. Por ejemplo, una pieza (ya sea tonal o atonal) con un centro de altura claro en F podría analizarse de manera más útil con F establecido en cero (en cuyo caso {0,1,2} representaría F, F ♯ y G. (Para el uso de números para representar notas, véase clase de altura .)

Aunque los teóricos de conjuntos suelen considerar conjuntos de clases de altura temperadas iguales, es posible considerar conjuntos de alturas, clases de altura temperadas no iguales, ataques rítmicos o "clases de pulso". ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Los conjuntos de dos elementos se llaman díadas , los conjuntos de tres elementos tricordios (ocasionalmente "triadas", aunque esto se confunde fácilmente con el significado tradicional de la palabra tríada ). Los conjuntos de cardinalidades más altas se llaman tetracordios (o tétradas), pentacordios (o pentadas), hexacordios (o hexadas), heptacordios (heptadas o, a veces, mezclando raíces latinas y griegas, "septacordios"—por ejemplo Rahn ), ^{[ 12 ]} octacordios (octadas), nonacordios (nonadas), decacordios (decadas), undecacordios y, finalmente, el dodecacordo .

Las operaciones básicas que se pueden realizar sobre un conjunto son la transposición y la inversión . Se dice que los conjuntos relacionados por transposición o inversión están relacionados transposicionalmente o inversionalmente, y pertenecen a la misma clase de conjuntos . Dado que la transposición y la inversión son isometrías del espacio de clases de altura, preservan la estructura interválica de un conjunto, aunque no el carácter musical de sus elementos. Esto puede considerarse el postulado central de la teoría musical de conjuntos. En la práctica, el análisis musical basado en la teoría de conjuntos suele consistir en la identificación de relaciones transposicionales o inversionales no evidentes entre conjuntos presentes en una pieza.

Algunos autores también consideran las operaciones de complementación y multiplicación . El complemento del conjunto X es el conjunto formado por todas las clases de altura no contenidas en X. ^{[ 13 ]} El producto de dos clases de altura es el producto de sus números de clase de altura módulo 12. Dado que la complementación y la multiplicación no son isometrías del espacio de clases de altura, no necesariamente preservan el carácter musical de los objetos que transforman. Otros autores, como Allen Forte, han enfatizado la relación Z , que se da entre dos conjuntos que comparten el mismo contenido total de intervalos, o vector de intervalos , pero que no son equivalentes en transposición o inversión. ^{[ 14 ]} Otro nombre para esta relación, utilizado por Hanson, ^{[ 15 ]} es "isomérica". ^{[ 16 ]}

Las operaciones sobre secuencias ordenadas de clases de altura también incluyen transposición e inversión, así como retrogradación y rotación . Retrogradar una secuencia ordenada invierte el orden de sus elementos. La rotación de una secuencia ordenada es equivalente a una permutación cíclica .

La transposición y la inversión pueden representarse como operaciones aritméticas elementales. Si x es un número que representa una clase de altura, su transposición de n semitonos se escribe T _n  = x + n mod 12. La inversión corresponde a una reflexión alrededor de un punto fijo en el espacio de clases de altura . Si x es una clase de altura, la inversión con índice n se escribe I _n = n - x mod 12.           

"Para que una relación en el conjunto S sea una relación de equivalencia [en álgebra ], debe satisfacer tres condiciones: debe ser reflexiva ..., simétrica ... y transitiva ...". ^{[ 17 ]} "De hecho, una noción informal de equivalencia siempre ha formado parte de la teoría y el análisis musical. Sin embargo, la teoría de conjuntos PC se ha adherido a definiciones formales de equivalencia". ^{[ 18 ]}

Se dice que dos conjuntos relacionados por transposición pertenecen a la misma clase de conjuntos transposicionales (T _n ). Dos conjuntos relacionados por transposición o inversión pertenecen a la misma clase de conjuntos transposicionales/inversionales (la inversión se escribe T _n I o I _n ). Los conjuntos que pertenecen a la misma clase de conjuntos transposicionales tienen un sonido muy similar; mientras que los conjuntos que pertenecen a la misma clase de conjuntos transposicionales/inversionales podrían incluir dos acordes del mismo tipo pero en tonalidades diferentes, que tendrían un sonido menos similar, pero que obviamente seguirían siendo una categoría delimitada. Por ello, los teóricos de la música suelen considerar las clases de conjuntos como objetos básicos de interés musical.

Hay dos convenciones principales para nombrar las clases de conjuntos temperados iguales. Una, conocida como el número de Forte , deriva de Allen Forte, cuya obra The Structure of Atonal Music (1973) es una de las primeras obras en teoría de conjuntos musicales. Forte proporcionó a cada clase de conjunto un número de la forma c – d , donde c indica la cardinalidad del conjunto y d es el número ordinal. ^{[ 19 ]} Así, el tricordio cromático {0, 1, 2} pertenece a la clase de conjunto 3–1, lo que indica que es la primera clase de conjunto de tres notas en la lista de Forte. ^{[ 20 ]} El tricordio aumentado {0, 4, 8} recibe la etiqueta 3–12, que resulta ser el último tricordio en la lista de Forte.

Las principales críticas a la nomenclatura de Forte son: (1) Las etiquetas de Forte son arbitrarias y difíciles de memorizar, y en la práctica suele ser más fácil simplemente enumerar un elemento de la clase de conjunto; (2) El sistema de Forte asume el temperamento igual y no se puede extender fácilmente para incluir conjuntos diatónicos, conjuntos de altura (a diferencia de los conjuntos de clase de altura), multiconjuntos o conjuntos en otros sistemas de afinación; (3) El sistema original de Forte considera que los conjuntos relacionados por inversión pertenecen a la misma clase de conjunto. Esto significa que, por ejemplo, una tríada mayor y una tríada menor se consideran el mismo conjunto.

Durante siglos, la música tonal occidental ha considerado las escalas mayor y menor, así como las inversiones de acordes, como significativamente diferentes. De hecho, generan objetos físicos completamente distintos. Ignorar la realidad física del sonido es una limitación evidente de la teoría atonal. Sin embargo, se ha argumentado que la teoría no se creó para llenar un vacío en el que las teorías existentes no explicaban adecuadamente la música tonal. Más bien, la teoría de Forte se utiliza para explicar la música atonal, donde el compositor ha inventado un sistema en el que la distinción entre {0, 4, 7} (llamado «mayor» en la teoría tonal) y su inversión {0, 3, 7} (llamado «menor» en la teoría tonal) puede no ser relevante.

El segundo sistema de notación etiqueta los conjuntos en términos de su forma normal , que depende del concepto de orden normal . Para poner un conjunto en orden normal, ordénelo como una escala ascendente en el espacio de clases de altura que abarque menos de una octava. Luego, permutéelo cíclicamente hasta que su primera y última nota estén lo más cerca posible. En el caso de ligaduras, minimice la distancia entre la primera y la penúltima nota. (En el caso de ligaduras aquí, minimice la distancia entre la primera y la penúltima nota, y así sucesivamente). Por lo tanto, {0, 7, 4} en orden normal es {0, 4, 7}, mientras que {0, 2, 10} en orden normal es {10, 0, 2}. Para poner un conjunto en forma normal, comience por ponerlo en orden normal y luego transpóngalo de modo que su primera clase de tono sea 0. ^{[ 21 ]} Los matemáticos y los científicos de la computación suelen ordenar las combinaciones utilizando el orden alfabético, el orden binario (base dos) o la codificación Gray , cada uno de los cuales conduce a formas normales diferentes pero lógicas.

Dado que los conjuntos relacionados por transposición comparten la misma forma normal, las formas normales se pueden utilizar para etiquetar las clases de conjuntos T _n .

Para identificar la clase de conjunto T _n /I _{n de un conjunto:}

• Identifica la clase de conjunto T _{n del conjunto.}
• Invierte el conjunto y encuentra la clase de conjunto T _{n de la inversión.}
• Compara estas dos formas normales para ver cuál está más "empaquetada a la izquierda".

_{El conjunto resultante etiqueta la clase de conjunto T n} /I _n del conjunto inicial .

El número de operaciones distintas en un sistema que mapean un conjunto en sí mismo es el grado de simetría del conjunto . ^{[ 22 ]} El grado de simetría, "especifica el número de operaciones que preservan los conjuntos de clases de tono no ordenados de una partición; indica hasta qué punto los conjuntos de clases de tono de esa partición se mapean entre sí bajo transposición o inversión". ^{[ 23 ]} Todo conjunto tiene al menos una simetría, ya que se mapea sobre sí mismo bajo la operación identidad T ₀ . ^{[ 24 ]} Los conjuntos simétricos por transposición se mapean sobre sí mismos para T _n donde n no es igual a 0 (mod 12). Los conjuntos simétricos por inversión se mapean sobre sí mismos bajo T _n I. Para cualquier tipo T _n /T _n I dado, todos los conjuntos tienen el mismo grado de simetría. El número de conjuntos distintos en un tipo es 24 (el número total de operaciones, transposición e inversión, para n  =  0 a 11) dividido por el grado de simetría del tipo T _n /T _n I.

Los conjuntos simétricos por transposición dividen la octava de manera uniforme, o bien pueden escribirse como la unión de conjuntos de igual tamaño que, a su vez, la dividen de manera uniforme. Los acordes simétricos por inversión son invariantes bajo reflexiones en el espacio de clases de altura. Esto significa que los acordes pueden ordenarse cíclicamente de manera que la serie de intervalos entre notas sucesivas sea la misma tanto de adelante hacia atrás como de atrás hacia adelante. Por ejemplo, en el orden cíclico (0, 1, 2, 7), el intervalo entre la primera y la segunda nota es 1, el intervalo entre la segunda y la tercera nota es 1, el intervalo entre la tercera y la cuarta nota es 5, y el intervalo entre la cuarta nota y la primera nota es 5. ^{[ 25 ]}

Se obtiene la misma secuencia si se comienza con el tercer elemento de la serie y se retrocede: el intervalo entre el tercer elemento de la serie y el segundo es 1; el intervalo entre el segundo elemento de la serie y el primero es 1; el intervalo entre el primer elemento de la serie y el cuarto es 5; y el intervalo entre el último elemento de la serie y el tercero es 5. Por lo tanto, se encuentra simetría entre T ₀ y T ₂ I, y hay 12 conjuntos en la clase de equivalencia T _n /T _n I. ^{[ 25 ]}

• Identidad (música)
• Intervalo de tono
• Tonelada
• Teoría transformacional

Fuentes

• Tucker, Gary (2001) "Una breve introducción al análisis de conjuntos de clases de altura" , Departamento de Música de la Universidad Mount Allison .
• Nick Collins "Singularidad de los espacios de clase de lanzamiento, bases mínimas y socios Z" , Sonic Arts .
• "Teoría del tono del siglo XX: algunos términos y técnicas útiles" , Forma y análisis: un libro de texto virtual .
• Solomon, Larry (2005). "Introducción a la teoría de conjuntos para la música" , SolomonMusic.net .
• Kelley, Robert T (2001). "Introducción al análisis musical postfuncional: terminología de la teoría postfuncional" Archivado el 8 de septiembre de 2019 en Wayback Machine , RobertKelleyPhd.com .
• Kelley, Robert T (2002). "Introducción al análisis musical post-funcional: teoría de conjuntos, la matriz y el método de doce tonos" Archivado el 10 de febrero de 2021 en Wayback Machine .
• "SetClass View (SCv)" , Flexatone.net . Una herramienta netTool de athenaCL para análisis y referencia de clases de tono en línea, basada en la web.
• Tomlin, Jay. "Todo sobre la teoría de conjuntos" . JayTomlin.com .
• "Máquina de Teoría de Conjuntos de Java" o Calculadora
• Kaiser, Ulrich. "Calculadora de conjuntos de clases de tono" , musikanalyse.net . (en alemán)
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• "Herramientas de software para compositores" , ComposerTools.com . Calculadora de conjuntos de PC en Javascript, calculadoras de relaciones entre dos conjuntos y tutorial de teoría.
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• Taylor, Stephen Andrew. "SetFinder" , stephenandrewtaylor.net . Biblioteca de conjuntos de clases Pitch y calculadora de formas primas.