bifurcación en horquilla

En la teoría de bifurcaciones , un campo de las matemáticas , una bifurcación de horquilla es un tipo particular de bifurcación local en la que el sistema transita de un punto fijo a tres puntos fijos. Las bifurcaciones de horquilla, al igual que las bifurcaciones de Hopf , tienen dos tipos: supercríticas y subcríticas.

En los sistemas dinámicos continuos descritos por EDO ( es decir, flujos ), las bifurcaciones de horquilla ocurren genéricamente en sistemas con simetría .

La forma normal de la bifurcación de horquilla supercrítica es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$

Para${\displaystyle r<0}$, existe un equilibrio estable en${\displaystyle x=0}$. Para${\displaystyle r>0}$existe un equilibrio inestable en${\displaystyle x=0}$y dos equilibrios estables en${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$.

La forma normal para el caso subcrítico es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$

En este caso, para${\displaystyle r<0}$el equilibrio en${\displaystyle x=0}$es estable, y hay dos equilibrios inestables en${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$. Para${\displaystyle r>0}$el equilibrio en${\displaystyle x=0}$es inestable.

Una ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$

descrito por una función de un parámetro${\displaystyle f(x,r)}$con${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$satisfactorio:

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$ (f es una función impar ),

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial r}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}}$

tiene una bifurcación en horquilla en${\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$La forma del tridente viene dada por el signo de la tercera derivada:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercrítico}}\\>0,&{\text{subcrítico}}\end{cases}}\,\,}$

Tenga en cuenta que subcrítico y supercrítico describen la estabilidad de las líneas exteriores del tridente (punteadas o continuas, respectivamente) y no dependen de la dirección hacia la que apunta el tridente. Por ejemplo, el negativo de la primera EDO anterior,${\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}$, apunta en la misma dirección que la primera imagen, pero invierte la estabilidad y, por lo tanto, sería subcrítico.

• teoría de la bifurcación
• Diagrama de bifurcación

• Steven Strogatz, Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería , Perseus Books, 2000.
• S. Wiggins, Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos , Springer-Verlag, 1990.