Teorema de la pizza

En geometría elemental , el teorema de la pizza establece la igualdad de dos áreas que resultan de dividir un disco de cierta manera.

El teorema se llama así porque imita una técnica tradicional para cortar pizza . Demuestra que si dos personas comparten una pizza cortada en 8 porciones (o cualquier múltiplo de 4 mayor que 8) y toman porciones alternas, cada una recibirá la misma cantidad de pizza, independientemente del punto de corte central.

Sea p un punto interior del disco y n un múltiplo de 4 mayor o igual que 8. Forme n sectores del disco con ángulos iguales eligiendo una línea arbitraria que pase por p , rotándola n / 2  - 1  veces un ángulo de 2π / n radianes y cortando el disco en cada una de las n/2 líneas resultantes . Numere los sectores consecutivamente en sentido horario o antihorario. Entonces, el teorema de la pizza establece ( Upton 1968 ) :

La suma de las áreas de los sectores impares es igual a la suma de las áreas de los sectores pares.

El teorema de la pizza fue propuesto originalmente como un problema de desafío por Upton (1967) . La solución publicada a este problema, por Michael Goldberg, implicó la manipulación directa de las expresiones algebraicas para las áreas de los sectores. Carter y Wagon (1994a) proporcionan una demostración alternativa por disección . Muestran cómo particionar los sectores en piezas más pequeñas de modo que cada pieza en un sector impar tenga una pieza congruente en un sector par, y viceversa. Frederickson (2012) dio una familia de demostraciones por disección para todos los casos (en los que el número de sectores es 8, 12, 16, ... ).

Es necesario que el número de sectores sea múltiplo de cuatro: como demostró Don Coppersmith , dividir un disco en cuatro sectores, o en un número de sectores que no sea divisible por cuatro, generalmente no produce áreas iguales. Mabry y Deiermann (2009) resolvieron un problema de Carter y Wagon (1994b) proporcionando una versión más precisa del teorema que determina cuál de los dos conjuntos de sectores tiene mayor área en los casos en que las áreas son desiguales. Específicamente, si el número de sectores es 2 ( mod 8) y ninguna sección pasa por el centro del disco, entonces el subconjunto de secciones que contiene el centro tiene un área menor que el otro subconjunto, mientras que si el número de sectores es 6 (mod 8) y ninguna sección pasa por el centro, entonces el subconjunto de secciones que contiene el centro tiene un área mayor. Un número impar de sectores no es posible con cortes en línea recta, y una sección que pasa por el centro hace que los dos subconjuntos sean iguales independientemente del número de sectores.

Mabry y Deiermann (2009) también observan que, cuando la pizza se divide en partes iguales, también lo hace su corteza (la corteza puede interpretarse como el perímetro del disco o el área entre el borde del disco y un círculo más pequeño con el mismo centro, con el punto de corte en el interior de este último), y dado que los discos delimitados por ambos círculos se dividen en partes iguales, también lo es su diferencia. Sin embargo, cuando la pizza se divide de forma desigual, quien recibe la mayor parte de la pizza en realidad recibe la menor cantidad de corteza.

Como señalan Hirschhorn et al. (1999) , una división igual de la pizza también conlleva una división igual de sus ingredientes, siempre que cada ingrediente se distribuya en un disco (no necesariamente concéntrico con toda la pizza) que contenga el punto central p de la división en sectores.

Hirschhorn et al. (1999) demuestran que una pizza cortada de la misma manera que en el teorema de la pizza, en n sectores con ángulos iguales donde n es divisible por cuatro, también puede compartirse equitativamente entre n /4 personas. Por ejemplo, una pizza dividida en 12 sectores puede ser compartida equitativamente tanto por tres personas como por dos; sin embargo, para dar cabida a los cinco Hirschhorn, una pizza tendría que dividirse en 20 sectores.

Cibulka et al. (2010) y Knauer, Micek y Ueckerdt (2011) estudian la teoría de juegos de elegir porciones gratuitas de pizza para garantizar una gran parte, un problema planteado por Dan Brown y Peter Winkler . En la versión del problema que estudian, una pizza se corta radialmente (sin la garantía de sectores de igual ángulo) y dos comensales eligen alternativamente porciones de pizza que son adyacentes a un sector ya comido. Si ambos comensales intentan maximizar la cantidad de pizza que comen, el comensal que toma la primera porción puede garantizar una parte de 4/9 de la pizza total, y existe una división de la pizza tal que no puede tomar más. El problema de la división justa o de cortar un pastel considera juegos similares en los que diferentes jugadores tienen diferentes criterios para cómo miden el tamaño de su parte; por ejemplo, un comensal puede preferir obtener la mayor cantidad de pepperoni mientras que otro comensal puede preferir obtener la mayor cantidad de queso.

Brailov (2021) , Brailov (2022) , Ehrenborg, Morel y Readdy (2022) y Ehrenborg, Morel y Readdy (2023) extienden este resultado a dimensiones superiores, es decir, para ciertas disposiciones de hiperplanos, la suma alternada de volúmenes recortados por los hiperplanos es cero.

Compárese con el teorema del sándwich de jamón , un resultado sobre el corte de objetos n- dimensionales. La versión bidimensional implica que cualquier pizza, por muy deforme que sea, puede dividirse simultáneamente por un único corte recto cuidadosamente elegido, tanto por su área como por la longitud de su corteza. La versión tridimensional implica la existencia de un corte plano que divide equitativamente la base, el tomate y el queso.

• Número de pastel

• Dividir un círculo en áreas (problema del círculo de Moser)

• La secuencia del proveedor de catering perezoso , una secuencia de números enteros que cuenta la cantidad máxima de porciones de pizza que se pueden obtener a partir de una cantidad determinada de rebanadas rectas.

• Carter, Larry; Wagon, Stan (1994a), "Prueba sin palabras: Asignación justa de una pizza", Mathematics Magazine , 67 (4): 267, doi : 10.1080/0025570X.1994.11996228 , JSTOR 2690845 .
• Carter, Larry; Wagon, Stan (1994b), "Problema 1457", Mathematics Magazine , 67 (4): 303–310 , JSTOR 2690855 .
• Cibulka, Josef; Kynčl, Jan; Mészáros, Viola; Stolař, Rudolf; Valtr, Pavel (2010), "Solución del problema de la pizza de Peter Winkler", Fiesta de la Combinatoria y la Informática , Estudios Matemáticos de la Sociedad Bolyai, vol.  20, Sociedad Matemática János Bolyai y Springer-Verlag, págs. 63–93 , arXiv : 0812.4322 , doi : 10.1007/978-3-642-13580-4_4 , ISBN  978-3-642-13579-8, S2CID 18272355 .
• Brailov, Yury (2021), "Grupos de reflexión y el teorema de la pizza" , Algebra i Analiz (en ruso), 33 ( 6): 1–8
• Brailov, Yury (2022), "Grupos de reflexión y el teorema de la pizza" , St. Petersburg Math. J. , 33 (6): 891–896 , doi : 10.1090/spmj/1732 , S2CID 253334994 
• Ehrenborg, Richard; Morel, Sofía; Readdy, Margaret (3 de junio de 2022), "Sharing pizza in 𝑛 dimensiones" , Transactions of the American Mathematical Society , 375 (8): 5829– 5857, arXiv : 2102.06649 , doi : 10.1090/tran/8664 , ISSN 0002-9947 
• Ehrenborg, Richard; Morel, Sophie; Readdy, Margaret (17 de octubre de 2023), "Pizza y 2-estructuras", Discrete & Computational Geometry , 70 (4): 1221– 1244, arXiv : 2105.07288 , doi : 10.1007/s00454-023-00600-2
• Hirschhorn, J.; Hirschhorn, MD; Hirschhorn, JK; Hirschhorn, AD; Hirschhorn, PM (1999), "El teorema de la pizza" ( PDF) , Austral. Math. Soc. Gaz. , 26 : 120–121.
• Frederickson, Greg (2012), "La prueba está en la pizza", Mathematics Magazine , 85 (1): 26–33 , doi : 10.4169/math.mag.85.1.26 , JSTOR 10.4169/math.mag.85.1.26 , S2CID 116636161  .
• Knauer, Kolja; Micek, Piotr; Ueckerdt, Torsten (2011), "Cómo comer 4/9 de una pizza", Matemáticas discretas , 311 (16): 1635– 1645, arXiv : 0812.2870 , doi : 10.1016/j.disc.2011.03.015 , S2CID 15566728 .
• Mabry, Rick; Deiermann, Paul (2009), "Sobre queso y corteza: una prueba de la conjetura de la pizza y otros resultados sabrosos", American Mathematical Monthly , 116 (5): 423– 438, CiteSeerX 10.1.1.156.4216 , doi : 10.4169/193009709x470317 , JSTOR 40391118  .
• Ornes, Stephen (11 de diciembre de 2009), "La manera perfecta de cortar una pizza" , New Scientist.
• Upton, LJ (1967), "Problema 660", Mathematics Magazine , 40 (3): 163, JSTOR 2688484. Enunciado del problema {{citation}}: CS1 maint: postscript ( enlace ) .
• Upton, LJ (1968), "Problema 660", Mathematics Magazine , 41 (1): 42, JSTOR 2687962. Solución de Michael Goldberg. {{citation}}: CS1 maint: postscript ( enlace ) .
• Berzsenyi, George (1994), "El teorema de la pizza - Parte I" (PDF) , Revista Quantum : 29
• Berzsenyi, George (1994), "El teorema de la pizza - Parte II" (PDF) , Revista Quantum : 29

• Weisstein, Eric W. "Teorema de la pizza" . MundoMatemático .
• Sillke, Torsten, Teorema de la pizza , consultado el 24 de noviembre de 2009.