Álgebra planar

Un enredo planar (sombreado) es la información de un número finito de discos de entrada , un disco de salida , cadenas que no se intersecan y que dan un número par, por ejemplo${\displaystyle 2n}$, intervalos por disco y uno${\displaystyle \star }$-intervalo marcado por disco.

Aquí, la marca se muestra como una${\displaystyle \star }$-forma. En cada disco de entrada se coloca entre dos cadenas salientes adyacentes, y en el disco de salida se coloca entre dos cadenas entrantes adyacentes. Se define un enredo planar hasta la isotopía .

Para componer dos enredos planares, coloque el disco de salida de uno en una entrada del otro, teniendo la misma cantidad de intervalos, el mismo sombreado de los intervalos marcados y de tal manera que${\displaystyle \star }$Los intervalos marcados coinciden. Finalmente, eliminamos los círculos coincidentes. Cabe destacar que dos enredos planares pueden tener cero, una o varias composiciones posibles.

La operada planar es el conjunto de todos los enredos planares (salvo isomorfismo) con tales composiciones.

Un álgebra planar es una representación de la operada planar ; más precisamente, es una familia de espacios vectoriales.${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$, llamado${\displaystyle n}$-espacios de caja, sobre los que actúa la operada planar, es decir, para cualquier enredo${\displaystyle T}$(con un disco de salida y${\displaystyle r}$discos de entrada con${\displaystyle 2n_{0}}$y${\displaystyle 2n_{1},\dots ,2n_{r}}$intervalos respectivamente) hay un mapa multilineal

${\displaystyle Z_{T}:{\mathcal {P}}_{n_{1},\epsilon _{1}}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {P}}_{n_{r},\epsilon _{r}}\to {\mathcal {P}}_{n_{0},\epsilon _{0}}}$

con${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{+,-\}}$según el sombreado de la${\displaystyle \star }$-intervalos marcados, y estos mapas (también llamados funciones de partición) respetan la composición del enredo de tal manera que todos los diagramas como se muestra a continuación conmutan.

La familia de espacios vectoriales ${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$generados por los enredos planares que tienen ${\displaystyle 2n}$intervalos en su disco de salida y un blanco (o negro)${\displaystyle \star }$-intervalo marcado, admite una estructura de álgebra planar.

El álgebra plana de Temperley-Lieb${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta)}$se genera mediante enredos planares sin disco de entrada; su${\displaystyle 3}$-espacio de caja${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{3,+}(\delta)}$es generado por

Además, una cadena cerrada se reemplaza por una multiplicación por${\displaystyle \delta }$.

Tenga en cuenta que la dimensión de${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{n,\pm}(\delta)}$es el número catalán${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$Esta álgebra planar codifica la noción de álgebra de Temperley-Lieb .

Un álgebra de Hopf semisimple y cosemisimple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado está codificada en un álgebra planar definida por generadores y relaciones, y "corresponde" (salvo isomorfismo) a un álgebra planar conexa, irreducible, esférica y no degenerada con módulo distinto de cero.${\displaystyle \delta }$y de profundidad dos. ^{[ 7 ]}

Tenga en cuenta que los medios conectados${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{0,\pm })=1}$(como se evalúa a continuación), medios irreducibles${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{1,+})=1}$, esférico se define más adelante, y no degenerado significa que las trazas (definidas más adelante) no son degeneradas.

Un álgebra planar de subfactores es un álgebra planar${\displaystyle \star }$-álgebra${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$que es:

(1) De dimensión finita:${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{n,\pm })<\infty }$

(2) Evaluable: ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0,\pm }=\mathbb {C} }$

(3) Esférico:${\displaystyle tr:=tr_{r}=tr_{l}}$

(4) Positivo: ${\displaystyle \langle a\vert b\rangle =tr(b^{\star }a)}$define un producto interno.

Nótese que, según (2) y (3), cualquier cadena cerrada (sombreada o no) cuenta para la misma constante.${\displaystyle \delta }$.

La acción de enredo trata al adjunto de la siguiente manera:

${\displaystyle Z_{T}(a_{1}\otimes a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{r})^{\star }=Z_{T^{\star }}(a_{1}^{\star }\otimes a_{2}^{\star }\otimes \cdots \otimes a_{r}^{\star })}$

con${\displaystyle T^{\star }}$la imagen especular de${\displaystyle T}$y${\displaystyle a_{i}^{\star }}$el adjunto de ${\displaystyle a_{i}}$en${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n_{i},\epsilon _ {i}}}$.

Teorema de no-fantasmas : El álgebra planar${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta)}$no tiene fantasma (es decir elemento)${\displaystyle a}$con${\displaystyle \langle a\vert a\rangle <0}$) si y solo si

${\displaystyle \delta \in \{2\cos(\pi /n)|n=3,4,5,...\}\cup [2,+\infty ]}$

Para${\displaystyle \delta }$como arriba, deje${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ser el ideal nulo (generado por elementos)${\displaystyle a}$con${\displaystyle \langle a\vert a\rangle =0}$). Entonces el cociente${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )/{\mathcal {I}}}$es un álgebra planar de subfactores, llamada álgebra planar de subfactores de Temperley-Lieb-Jones${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$. Cualquier álgebra planar subfactor con constante${\displaystyle \delta }$admite${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$como subálgebra planar.

Un álgebra planar${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })}$es un álgebra planar de subfactores si y solo si es el invariante estándar de un subfactor extremal.${\displaystyle N\subsetequ M}$índice${\displaystyle [M:N]=\delta ^{2}}$, con${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$y${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Un subfactor irreducible o de profundidad finita es extremal (${\displaystyle tr_{N'}=tr_{M}}$en${\displaystyle N'\cap M}$).

Existe un álgebra planar de subfactores que codifica cualquier grupo finito (y, más generalmente, cualquier Hopf de dimensión finita).${\displaystyle {\rm {C}}^{\star }}$-álgebra , llamada álgebra de Kac), definida por generadores y relaciones. Un álgebra de Kac (de dimensión finita) "corresponde" (salvo isomorfismo) a un álgebra planar subfactor irreducible de profundidad dos. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

El álgebra planar de subfactores asociada a una inclusión de grupos finitos, ^{[ 13 ]} no siempre recuerda la inclusión (sin núcleo). ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Un álgebra planar de subfactor de Bisch-Jones ${\displaystyle {\mathcal {BJ}}(\delta _{1},\delta _{2})}$(a veces llamado Fuss-Catalán) se define como para${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$pero al permitir dos colores de cuerda con su propia constante${\displaystyle \delta _{1}}$y${\displaystyle \delta _{2}}$, con${\displaystyle \delta _{i}}$como se indicó anteriormente. Es una subálgebra planar de cualquier álgebra planar subfactor con un intermedio tal que${\displaystyle [K:N]=\delta _ {1}^{2}}$y${\displaystyle [M:K]=\delta _{2}^{2}}$. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

El primer subfactor de profundidad finita del álgebra planar de índice${\displaystyle \delta ^{2}>4}$Se denomina álgebra planar de subfactores de Haagerup . ^{[ 18 ]} Tiene índice${\displaystyle (5+{\sqrt {13}})/2\sim 4.303}$.

Las álgebras planas subfactoriales están completamente clasificadas para índice como máximo${\displaystyle 5}$^{[ 19 ]} y un poco más allá. ^{[ 20 ]} Esta clasificación fue iniciada porUffe Haagerup. ^{[ 21 ]} Utiliza (entre otras cosas) una lista de posibles grafos principales, junto con el teorema de incrustación ^{[ 22 ]} y el algoritmo de la medusa. ^{[ 23 ]}

Un álgebra planar de subfactores recuerda el subfactor (es decir, su invariante estándar es completo) si es amenable. ^{[ 24 ]} Un subfactor hiperfinito de profundidad finita es amenable.

Acerca del caso no amenable: existen muchísimos subfactores hiperfinitos irreducibles de índice 6 que no se pueden clasificar y que tienen todos el mismo invariante estándar. ^{[ 25 ]}

Dejar${\displaystyle N\subset M}$sea ​​un subfactor de índice finito, y${\displaystyle {\mathcal {P}}}$el álgebra planar de subfactores correspondiente. Supongamos que${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es irreducible (es decir,${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1,+}=N'\cap M_{1}=\mathbb {C} }$). Dejar${\displaystyle N\subset K\subset M}$Sea un subfactor intermedio. Sea la proyección de Jones.${\displaystyle e_{K}^{M}:L^{2}(M)\to L^{2}(K)}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle e_{K}^{M}\in {\mathcal {P}}_{2,+}}$. Dejar${\displaystyle id:=e_{M}^{M}}$y${\displaystyle e_{1}:=e_{N}^{M}}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle tr(e_{1})=\delta ^{-2}=[M:N]^{-1}}$y${\displaystyle tr(id)=1}$.

Sea la aplicación lineal biyectiva${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {P}}_{2,\pm }\to {\mathcal {P}}_{2,\mp }}$ser la transformada de Fourier , también llamada${\displaystyle 1}$-clic (de la estrella exterior) o${\displaystyle 90^{\circ }}$rotación; y dejar${\displaystyle a*b}$ser el coproducto de${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$.

Tenga en cuenta que la palabra coproducto es un diminutivo de producto de convolución . Es una operación binaria .

El coproducto satisface la igualdad ${\displaystyle a*b={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(a){\mathcal {F}}^{-1}(b)).}$

Para cualquier operador positivo${\displaystyle a,b}$, el coproducto ${\displaystyle a*b}$También es positivo; esto se puede ver diagramáticamente: ^{[ 26 ]}

Dejar${\displaystyle {\overline {a}}:={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(a))}$ser el contragrediente${\displaystyle a}$(también llamado${\displaystyle 180^{\circ }}$rotación). El mapa${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}}$corresponde a cuatro${\displaystyle 1}$-clics de la estrella exterior, por lo que es el mapa de identidad, y luego${\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}$.

En el caso del álgebra de Kac, el contragrediente es exactamente el antípoda, ^{[ 12 ]} que, para un grupo finito, corresponde al inverso.

Una biproyección es una proyección${\displaystyle b\in {\mathcal {P}}_{2,+}\setminus \{0\}}$con${\displaystyle {\mathcal {F}}(b)}$un múltiplo de una proyección. Tenga en cuenta que${\displaystyle e_{1}=e_{N}^{M}}$y${\displaystyle id=e_{M}^{M}}$son biproyecciones; esto se puede ver de la siguiente manera:

Una proyección${\displaystyle b}$ Una proyección es biproyección si y solo si es la proyección de Jones.${\displaystyle e_{K}^{M}}$de un subfactor intermedio${\displaystyle N\subset K\subset M}$, ^{[ 27 ]} si y solo si${\displaystyle e_{1}\leq b={\overline {b}}=\lambda b*b,{\text{ with }}\lambda ^{-1}=\delta tr(b)}$. ^{[ 28 ] [ 26 ]}

Correspondencia de Galois : ^{[ 29 ]} en el caso del álgebra de Kac, las biproyecciones son 1-1 con las subálgebras coideales izquierdas, que, para un grupo finito, corresponden a los subgrupos.

Para cualquier álgebra planar subfactor irreducible, el conjunto de biproyecciones es un retículo finito, ^{[ 30 ]} de la forma${\displaystyle [e_{1},id]}$, como para un intervalo de grupos finitos${\displaystyle [H,G]}$.

Utilizando las biproyecciones, podemos hacer que el subfactor intermedio sea una álgebra planar. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

El principio de incertidumbre se extiende a cualquier álgebra planar de subfactor irreducible.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$:

Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}(x)=Tr(R(x))}$con${\displaystyle R(x)}$la proyección de rango de${\displaystyle x}$y${\displaystyle Tr}$la traza no normalizada (es decir${\displaystyle Tr=\delta ^{n}tr}$en ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,\pm }}$).

Principio de incertidumbre no conmutativa : ^{[ 33 ]} Sea${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}_{2,\pm }}$, distinto de cero. Entonces

${\displaystyle {\mathcal {S}}(x){\mathcal {S}}({\mathcal {F}}(x))\geq \delta ^{2}}$

Arrogante${\displaystyle x}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}(x)}$positivo, la igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle x}$es una biproyección. De manera más general, la igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle x}$es el bi-desplazamiento de una biproyección.