Teorema de Plancherel

En matemáticas , el teorema de Plancherel (a veces llamado identidad de Parseval-Plancherel ) es un resultado del análisis armónico , demostrado por Michel Plancherel en 1910. Es una generalización del teorema de Parseval ; se utiliza a menudo en los campos de la ciencia y la ingeniería, demostrando la unitariedad de la transformada de Fourier .

El teorema establece que la integral del módulo al cuadrado de una función es igual a la integral del módulo al cuadrado de su espectro de frecuencias . Es decir, si${\displaystyle f(x)}$es una función en la recta real, y${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$es su espectro de frecuencia, entonces

La transformada de Fourier de una función L ¹${\displaystyle f}$en la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$se define como la integral de Lebesgue$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx.}$$ Si${\displaystyle f}$pertenece a ambos${\displaystyle L^{1}}$y${\displaystyle L^{2}}$, entonces el teorema de Plancherel establece que${\displaystyle {\hat {f}}}$también pertenece a${\displaystyle L^{2}}$y la transformada de Fourier es una ^isometría con respecto a la norma L2 , lo que significa que $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$$

Esto implica que la transformada de Fourier restringida a${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ tiene una extensión única a un mapa isométrico lineal${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$, a veces llamada transformada de Plancherel. Esta isometría es en realidad una aplicación unitaria . En efecto, esto hace posible hablar de transformadas de Fourier de funciones L ² .

Una demostración del teorema se encuentra en Rudin (1987, Capítulo 9) . La idea básica consiste en demostrarlo para distribuciones gaussianas y luego utilizar la densidad. Sin embargo, una gaussiana estándar se transforma en sí misma mediante la transformada de Fourier, y el teorema resulta trivial en ese caso. Finalmente, las propiedades de transformación estándar de la transformada de Fourier implican entonces el teorema de Plancherel para todas las gaussianas.

El teorema de Plancherel sigue siendo válido tal como se enuncia en el espacio euclidiano n -dimensional .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$El teorema también se cumple de forma más general en grupos abelianos localmente compactos . Existe además una versión del teorema de Plancherel que resulta útil para grupos localmente compactos no conmutativos que satisfacen ciertas condiciones técnicas. Este es el tema del análisis armónico no conmutativo .

Debido a la identidad de polarización , también se puede aplicar el teorema de Plancherel a la${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$producto interno de dos funciones. Es decir, si${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle g(x)}$son dos${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$funciones y${\displaystyle {\mathcal {P}}}$denota la transformada de Plancherel, entonces $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$ y si${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle g(x)}$son además${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$funciones, entonces $${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$ y $${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$ entonces

También existe un teorema de Plancherel para la transformada de Fourier en grupos localmente compactos . En el caso de un grupo abeliano${\displaystyle G}$, hay un grupo dual de Pontryagin${\displaystyle {\widehat {G}}}$de personajes en${\displaystyle G}$. Dado una medida de Haar en${\displaystyle G}$, la transformada de Fourier de una función en${\displaystyle L^{1}(G)}$es $${\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}{\overline {\chi (g)}}f(g)\,dg}$$ para${\displaystyle \chi }$un personaje en${\displaystyle G}$.

El teorema de Plancherel establece que existe una medida de Haar en${\displaystyle {\widehat {G}}}$, la medida dual tal que $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$ a pesar de${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$(y la transformada de Fourier también está en${\displaystyle L^{2}}$).

El teorema también se cumple en muchos grupos localmente compactos no abelianos, excepto que el conjunto de representaciones unitarias irreducibles${\displaystyle {\widehat {G}}}$puede que no sea un grupo. Por ejemplo, cuando${\displaystyle G}$es un grupo finito,${\displaystyle {\widehat {G}}}$es el conjunto de caracteres irreducibles. De la teoría básica de caracteres , si${\displaystyle f}$es una función de clase , tenemos la fórmula de Parseval $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|f(g)|^{2},\quad \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}(\dim \rho )^{2}|{\hat {f}}(\rho )|^{2}.}$$ En términos más generales, cuando${\displaystyle f}$no es una función de clase, la norma es $${\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}\dim \rho \,\operatorname {tr} ({\hat {f}}(\rho )^{*}{\hat {f}}(\rho ))}$$ Así, la medida de Plancherel pondera cada representación según su dimensión.

En términos generales, un teorema de Plancherel es $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\int _{\hat {G}}\|{\hat {f}}(\rho )\|_{HS}^{2}d\mu (\rho )}$$ donde la norma es la norma de Hilbert-Schmidt del operador $${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\int _{G}f(g)\rho (g)^{*}\,dg}$$ y la medida${\displaystyle \mu }$Si existe, se denomina medida de Plancherel.

• Teorema de Carleson
• Teorema de Plancherel para funciones esféricas

• Plancherel, Michel (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289– 335, doi : 10.1007/BF03014877 , S2CID 122509369 .
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations , Gauthier Villars.
• Yosida, K. (1968), Análisis funcional , Springer Verlag.
• Rudin, Walter (1987), "9 Transformadas de Fourier", Análisis real y complejo (3.ª  ed.), McGraw-Hill Book Company.

• "Teorema de Plancherel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El teorema de Plancherel en Mathworld