Sistema autónomo (matemáticas)

{\displaystyle x'=Ax,} — Diagrama de estabilidad que clasifica los mapas de Poincaré de **un sistema autónomo lineal.** $x'=Ax,$ como estables o inestables según sus características. La estabilidad generalmente aumenta hacia la izquierda del diagrama. ^{[ 1 ]} Algunos sumideros, fuentes o nodos son puntos de equilibrio .

En matemáticas , un sistema autónomo o ecuación diferencial autónoma es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que no depende explícitamente de la variable independiente . Cuando la variable es el tiempo, también se les denomina sistemas invariantes en el tiempo .

Muchas leyes de la física , donde la variable independiente suele ser el tiempo , se expresan como sistemas autónomos porque se supone que las leyes de la naturaleza que rigen ahora son idénticas a las de cualquier punto del pasado o del futuro.

Definición

Un sistema autónomo es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$ donde $x$ toma valores en el espacio euclidiano $n-$ dimensional ; $t$ se interpreta a menudo como tiempo.

Se distingue de los sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma ${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$ en los que la ley que rige la evolución del sistema no depende únicamente del estado actual del sistema, sino también del parámetro $t$ , que a menudo se interpreta como tiempo; por definición, estos sistemas no son autónomos.

Propiedades

Las soluciones son invariantes bajo traslaciones horizontales:

Dejar $x_{1}(t)$ ser una solución única del problema de valor inicial para un sistema autónomo ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.$ Entonces $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ resuelve ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.$ Denotando $s=t-t_{0}$ obtiene $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ y $ds=dt$ , de este modo ${\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).$ Para la condición inicial, la verificación es trivial, $x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.$

Ejemplo

La ecuación $y'=\left(2-y\right)y$ es autónoma, ya que la variable independiente ( $x$ ) no aparece explícitamente en la ecuación. Para graficar el campo de pendientes y la isoclina para esta ecuación, se puede usar el siguiente código en GNU Octave / MATLAB.

Ffun = @( X , Y )( 2 - Y ) .* Y ; % función f(x,y)=(2-y)y [ X , Y ] = meshgrid ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % elegir los tamaños de la gráfica DY = Ffun ( X , Y ); DX = ones ( size ( DY )); % generar los valores de la gráfica quiver ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % graficar el campo de dirección en negro hold on ; contour ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % agregar las isoclinas(0 1 2) en verde title ( 'Campo de pendiente e isoclinas para f(x,y)=(2-y)y' )

Se puede observar en el gráfico que la función $\left(2-y\right)y$ es $x$ -invariante, y también lo es la forma de la solución, es decir $y(x)=y(x-x_{0})$ para cualquier turno $x_{0}$ .

Resolver la ecuación simbólicamente en MATLAB , ejecutando

syms y(x) ; ecuación = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % resuelve la ecuación para obtener una solución general simbólicamente y_general = dsolve ( ecuación );

obtiene dos soluciones de equilibrio , $y=0$ y $y=2$ y una tercera solución que involucra una constante desconocida. $C_{3}$ , .-2/(exp(C3-2*x)-1)

Al seleccionar algunos valores específicos para la condición inicial , se puede agregar la gráfica de varias soluciones.

% resolver el problema de valor inicial simbólicamente % para diferentes condiciones iniciales y1 = dsolve ( ecuación , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( ecuación , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( ecuación , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( ecuación , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( ecuación , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( ecuación , y ( 3 ) == 3 ); % graficar las soluciones ezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]); ezplot ( y4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); título ( 'Campo de pendientes, isoclinas y soluciones para f(x,y)=(2-y)y' ) leyenda ( 'Campo de pendientes' , 'Isoclinas' , 'Soluciones y_{1..6}' ); texto ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' })); texto ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6'})); cuadrícula en ;

Análisis cualitativo

Los sistemas autónomos pueden analizarse cualitativamente utilizando el espacio de fases ; en el caso de una variable, esta es la línea de fase .

Técnicas de solución

Las siguientes técnicas se aplican a ecuaciones diferenciales autónomas unidimensionales. Cualquier ecuación unidimensional de orden $n$ es equivalente a un $n$ sistema de primer orden de dimensión (como se describe en la reducción a un sistema de primer orden ), pero no necesariamente a la inversa.

Primer orden

La ecuación autónoma de primer orden ${\frac {dx}{dt}}=f(x)$ es separable , por lo que se puede resolver reorganizándolo en forma integral. $t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$

Segundo orden

La ecuación autónoma de segundo orden ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')$ es más difícil, pero se puede resolver ^{[ 2 ]} introduciendo la nueva variable $v={\frac {dx}{dt}}$ y expresando la segunda derivada de $x$ mediante la regla de la cadena como ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}$ de modo que la ecuación original se convierte en $v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$ que es una ecuación de primer orden que no hace referencia a la variable independiente. $t$ . Resolver proporciona $v$ como función de $x$ . Luego, recordando la definición de $v$ :

${\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}$

lo cual es una solución implícita.

Caso especial: $x ″ = f (x)$

El caso especial donde $f$ es independiente de $x'$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)$

se benefician de un tratamiento separado. ^{[ 3 ]} Este tipo de ecuaciones son muy comunes en la mecánica clásica porque siempre son sistemas hamiltonianos .

La idea es hacer uso de la identidad

${\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}$

lo cual se deduce de la regla de la cadena , salvo cualquier problema debido a la división por cero .

Al invertir ambos lados de un sistema autónomo de primer orden, se puede integrar inmediatamente con respecto a $x$ :

${\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$

que es otra forma de ver la técnica de separación de variables. La segunda derivada debe expresarse como una derivada con respecto a $x$ en lugar de $t$ :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}$

Para volver a enfatizar: lo que se ha logrado es que la segunda derivada con respecto a $t$ se ha expresado como un derivado de $x$ La ecuación original de segundo orden ahora se puede integrar:

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}$

Esta es una solución implícita. El mayor problema potencial radica en la incapacidad de simplificar las integrales, lo que implica dificultad o imposibilidad para evaluar las constantes de integración.

Caso especial: $x ″ = x' n f (x)$

Utilizando el enfoque anterior, la técnica puede extenderse a la ecuación más general.

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)$

dónde $n$ es algún parámetro distinto de dos. Esto funcionará ya que la segunda derivada se puede escribir en una forma que involucre una potencia de $x'$ . Reescribiendo la segunda derivada, reordenándola y expresando el lado izquierdo como una derivada:

${\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}$

La derecha llevará +/− si $n$ es par. El tratamiento debe ser diferente si $n=2$ :

${\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}$

Órdenes superiores

No existe un método análogo para resolver ecuaciones autónomas de tercer orden o superior. Dichas ecuaciones solo pueden resolverse exactamente si presentan alguna otra propiedad simplificadora, como la linealidad o la dependencia del lado derecho de la ecuación únicamente con respecto a la variable dependiente ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} (es decir, no con respecto a sus derivadas). Esto no debería sorprender, considerando que los sistemas autónomos no lineales en tres dimensiones pueden producir un comportamiento verdaderamente caótico , como el atractor de Lorenz y el atractor de Rössler .

Asimismo, las ecuaciones generales no autónomas de segundo orden no se pueden resolver explícitamente, ya que también pueden ser caóticas, como en un péndulo forzado periódicamente. ^{[ 6 ]}

caso multivariado

En $\mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)$ , dónde $\mathbf {x} (t)$ es un $n$ Vector columna de dimensión dependiente de $t$ .

La solución es $\mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c}$ dónde $\mathbf {c}$ es un $n\times 1$ vector constante. ^{[ 7 ]}

Duraciones finitas

Para las EDO autónomas no lineales, es posible, bajo ciertas condiciones, desarrollar soluciones de duración finita ^{[ 8 ],} lo que significa que, debido a su propia dinámica, el sistema alcanzará el valor cero en un instante final y permanecerá en cero indefinidamente. Estas soluciones de duración finita no pueden ser funciones analíticas en toda la recta real y, dado que serán funciones no Lipschitz en el instante final, no cumplen con la unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Lipschitz.

Como ejemplo, la ecuación:

y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1

Admite la solución de duración finita:

y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}

Véase también

Sistema no autónomo (matemáticas)

Referencias

↑ Egwald Matemáticas - Álgebra lineal: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: Análisis de estabilidad lineal. Consultado el 10 de octubre de 2019.
↑ Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de volumen en la frontera (8.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 133. ISBN 0-471-43338-1.
↑ "Ecuación autónoma de segundo orden" (PDF) . Eqworld . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
↑ Ecuación autónoma de tercer orden en eqworld .
↑ Ecuación autónoma de cuarto orden en eqworld .
↑ Blanchard; Devaney ; Hall (2005). Ecuaciones diferenciales . Brooks/Cole Publishing Co. págs. 540–543 . ISBN 0-495-01265-3.
↑ "Método de la exponencial matricial" . Math24 . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
↑ Vardia T. Haimo (1985). "Ecuaciones diferenciales de tiempo finito". 1985 24.ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control . págs. 1729–1733 . doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .

[1] Egwald Matemáticas - Álgebra lineal: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: Análisis de estabilidad lineal. Consultado el 10 de octubre de 2019.

[2] Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de volumen en la frontera (8.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 133. ISBN 0-471-43338-1.

[3] "Ecuación autónoma de segundo orden" (PDF) . Eqworld . Consultado el 28 de febrero de 2021 .

[4] Ecuación autónoma de tercer orden en eqworld .

[5] Ecuación autónoma de cuarto orden en eqworld .

[6] Blanchard; Devaney ; Hall (2005). Ecuaciones diferenciales . Brooks/Cole Publishing Co. págs. 540–543 . ISBN 0-495-01265-3.

[7] "Método de la exponencial matricial" . Math24 . Consultado el 28 de febrero de 2021 .

[8] Vardia T. Haimo (1985). "Ecuaciones diferenciales de tiempo finito". 1985 24.ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control . págs. 1729–1733 . doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .

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