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Articulo de referencia

El axioma de Playfair

Antecedente del axioma de Playfair: una línea y un punto que no está sobre la línea. Consecuencia del axioma de Playfair: una segunda línea, paralela a la primera, que pasa por ...

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Antecedente del axioma de Playfair: una línea y un punto que no está sobre la línea.
Consecuencia del axioma de Playfair: una segunda línea, paralela a la primera, que pasa por el punto

En geometría , el axioma de Playfair es un axioma que puede utilizarse en lugar del quinto postulado de Euclides (el postulado de las paralelas ):

En un plano , dada una línea y un punto que no está en ella, se puede trazar como máximo una línea paralela a la línea dada que pase por el punto. [ 1 ]

Es equivalente al postulado de las paralelas de Euclides en el contexto de la geometría euclidiana [ 2 ] y recibió su nombre del matemático escocés John Playfair . La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los primeros cuatro axiomas y el axioma adicional — "dos líneas tienen como máximo un punto de intersección" — que existe al menos una línea paralela dada una línea L y un punto P que no está en L , como sigue:

  1. Construir una perpendicular : Utilizando los axiomas y los teoremas establecidos previamente, puede construir una línea perpendicular a la línea L que pase por P.
  2. Construir otra perpendicular : Se traza una segunda línea perpendicular a la primera, comenzando desde el punto P.
  3. Línea paralela : Esta segunda línea perpendicular será paralela a L , ya que todos los ángulos interiores son ángulos rectos, y en los Elementos de Euclides hay una demostración, utilizando el axioma adicional, de que L y la línea adicional no se intersecan.

La afirmación suele escribirse con la frase «hay una y solo una línea paralela». En los Elementos de Euclides , se dice que dos líneas son paralelas si nunca se cruzan. [ 3 ] [ 4 ]

Este axioma se utiliza no solo en la geometría euclidiana, sino también en la geometría afín, más amplia . En esta geometría, el postulado de las paralelas no puede enunciarse, ya que los ángulos rectos no están definidos y el concepto de paralelismo es fundamental. En el contexto de la geometría afín, se requiere la forma más fuerte del axioma de Playfair (donde "a lo sumo uno" se reemplaza por "uno y solo uno"), dado que los axiomas de la geometría neutra no están presentes para proporcionar una prueba de existencia. La versión de Playfair del axioma se ha vuelto tan popular que a menudo se la denomina axioma de las paralelas de Euclides , [ 5 ] aunque no fue la versión de Euclides.

Historia

Proclo (410-485 d . C.) afirma claramente esto en su comentario sobre Euclides I.31 (Libro I, Proposición 31). [ 6 ]

En 1785, William Ludlam expresó el axioma paralelo de la siguiente manera: [ 7 ]

Dos líneas rectas que se encuentran en un punto no son ambas paralelas a una tercera línea.

Esta breve expresión del paralelismo euclidiano fue adoptada por Playfair en su libro de texto Elementos de Geometría (1795), que fue reeditado con frecuencia. Escribió [ 8 ]

Dos líneas rectas que se intersecan no pueden ser paralelas a la misma línea recta.

Playfair reconoció a Ludlam y a otros por simplificar la afirmación euclidiana. En desarrollos posteriores, el punto de intersección de las dos líneas fue el primero en considerarse, y la negación de dos paralelas pasó a expresarse como una única paralela que pasa por dicho punto. [ 9 ]

En 1883, Arthur Cayley era presidente de la Asociación Británica y expresó esta opinión en su discurso ante la Asociación: [ 10 ]

En mi opinión, el duodécimo axioma de Euclides, en la formulación de Playfair, no necesita demostración, sino que forma parte de nuestra noción de espacio, del espacio físico de nuestra experiencia, que es la representación que subyace a toda experiencia externa.

Cuando David Hilbert escribió su libro, Fundamentos de Geometría (1899), [ 11 ] proporcionando un nuevo conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, utilizó la forma del axioma de Playfair en lugar de la versión euclidiana original para hablar de líneas paralelas. [ 12 ]

Relación con el quinto postulado de Euclides

Si la suma de los ángulos interiores α y β es menor de 180°, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en ese lado.

El postulado de las paralelas de Euclides establece:

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos. [ 13 ]

La complejidad de esta afirmación, en comparación con la formulación de Playfair, es sin duda una de las principales razones por las que se suele citar el axioma de Playfair en los debates sobre el postulado paralelo.

En el contexto de la geometría absoluta, las dos afirmaciones son equivalentes, lo que significa que cada una puede demostrarse asumiendo la otra en presencia de los demás axiomas de la geometría. Esto no implica que las afirmaciones sean lógicamente equivalentes (es decir, que una pueda demostrarse a partir de la otra utilizando únicamente manipulaciones formales de la lógica), ya que, por ejemplo, cuando se interpretan en el modelo esférico de la geometría elíptica, una afirmación es verdadera y la otra no. [ 14 ] Las afirmaciones lógicamente equivalentes tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos en los que tienen interpretaciones.

Las demostraciones que se presentan a continuación parten de la base de que todos los axiomas de la geometría absoluta (neutral) son válidos.

El quinto postulado de Euclides implica el axioma de Playfair.

La forma más sencilla de demostrar esto es utilizando el teorema de Euclides (equivalente al quinto postulado) que establece que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Dada una líneaℓ{\displaystyle \ell }y un punto P que no está en esa línea, construya una línea, t , perpendicular a la dada que pase por el punto P , y luego una perpendicular a esta perpendicular en el punto P. Esta línea es paralela porque no puede encontrarse conℓ{\displaystyle \ell }y forman un triángulo, como se afirma en el Libro 1, Proposición 27 de los Elementos de Euclides . [ 15 ] Ahora se puede ver que no existen otras paralelas. Si n fuera una segunda línea que pasa por P , entonces n forma un ángulo agudo con t (ya que no es la perpendicular) y se cumple la hipótesis del quinto postulado, por lo que n se encuentraℓ{\displaystyle \ell }. [ 16 ]

El axioma de Playfair implica el quinto postulado de Euclides.

El quinto postulado puede demostrarse, aparentemente, de esta manera. Si las líneas en la construcción euclidiana se intersecan en el lado donde la suma de los ángulos interiores es mayor que dos ángulos rectos, tendríamos un triángulo cuyos dos ángulos suman un ángulo mayor que dos ángulos rectos, lo cual contradice la Proposición 1.17. Por lo tanto, deben intersecarse en el lado donde la suma de los ángulos interiores es menor que dos ángulos rectos.

Sin embargo, esto presupone que las líneas se intersecan. Lo que hemos demostrado es que «Si dos líneas se intersecan, deben hacerlo en el lado donde la suma de los ángulos interiores es menor que dos ángulos rectos». El axioma de Playfair garantiza que las líneas deben intersecarse al suponer de antemano que existe una única línea paralela que pasa por un punto dado (es decir, la perpendicular de una perpendicular). Todas las demás líneas que pasan por P no son paralelas y, por lo tanto, deben intersecarse.

Importancia de la congruencia de triángulos

La equivalencia clásica entre el axioma de Playfair y el quinto postulado de Euclides se desmorona en ausencia de congruencia de triángulos. [ 17 ] Esto se demuestra construyendo una geometría que redefine los ángulos de manera que respete los axiomas de incidencia, orden y congruencia de Hilbert, excepto la congruencia Lado-Ángulo-Lado (LAL). Esta geometría modela el axioma clásico de Playfair, pero no el quinto postulado de Euclides.

Transitividad del paralelismo

La proposición 30 de Euclides dice: "Dos líneas, cada una paralela a una tercera línea, son paralelas entre sí". Augustus De Morgan señaló [ 18 ] que esta proposición es lógicamente equivalente al axioma de Playfair. Este hallazgo fue relatado [ 19 ] por TL Heath en 1908. El argumento de De Morgan es el siguiente: Sea X el conjunto de pares de líneas distintas que se encuentran y Y el conjunto de pares de líneas distintas, cada una de las cuales es paralela a una sola línea común. Si z representa un par de líneas distintas, entonces la afirmación,

Para todo z , si z está en X, entonces z no está en Y ,

es el axioma de Playfair (en términos de De Morgan, No X es Y ) y su contrapositiva lógicamente equivalente ,

Para todo z , si z está en Y, entonces z no está en X ,

es Euclid I.30, la transitividad del paralelismo (Ningún Y es X ).

Más recientemente, la implicación se ha formulado de manera diferente en términos de la relación binaria expresada por líneas paralelas : en geometría afín, la relación se considera una relación de equivalencia , lo que significa que una línea se considera paralela a sí misma . Andy Liu [ 20 ] escribió: «Sea P un punto que no está en la línea 2. Supongamos que tanto la línea 1 como la línea 3 pasan por P y son paralelas a la línea 2. Por transitividad , son paralelas entre sí y, por lo tanto, no pueden tener exactamente P en común. De ello se deduce que son la misma línea, que es el axioma de Playfair».

Notas

  1. ↑ Playfair 1846 , pág. 29 
  2. ↑ más precisamente, en el contexto de la geometría absoluta .
  3. ↑ Elementos de Euclides, Libro I, definición 23
  4. ↑ Heath 1956 , Vol. 1, pág. 190
  5. ↑ Por ejemplo, Rafael Artzy (1965) Geometría lineal , página 202, Addison-Wesley
  6. ↑ Heath 1956 , Vol. 1, pág. 220
  7. ↑ William Ludlam (1785) Los rudimentos de las matemáticas , pág. 145, Cambridge
  8. ↑ Playfair 1846 , pág. 11 
  9. ↑ Playfair 1846 , pág. 291 
  10. ↑ William Barrett Frankland (1910) Teorías del paralelismo: una crítica histórica , página 31, Cambridge University Press
  11. ↑ Hilbert, David (1990) [1971], Fundamentos de Geometría [Grundlagen der Geometrie] , traducido por Leo Unger de la 10.ª edición alemana (2.ª  ed. en inglés), La Salle, IL: Open Court Publishing, ISBN 0-87548-164-7
  12. ↑ Eves 1963 , págs. 385-7
  13. ↑ George Phillips (1826) Elementos de Geometría (que contiene los seis primeros libros de Euclides) , pág. 3, Baldwin, Cradock y Joy
  14. ↑ Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History (3.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, p. 139, ISBN   0-13-143748-8
  15. ↑ Este argumento presupone más de lo necesario para demostrar el resultado. Existen demostraciones de la existencia de paralelos que no presuponen un equivalente del quinto postulado.
  16. ↑ Greenberg 1974 , pág. 107
  17. ↑ Brown, Elizabeth T.; Castner, Emily; Davis, Stephen; O'Shea, Edwin; Seryozhenkov, Edouard; Vargas, AJ (2019-08-01). "Sobre la equivalencia del axioma de Playfair con el postulado de las paralelas" . Journal of Geometry . 110 (2): 42. arXiv : 1903.05233 . doi : 10.1007/s00022-019-0496-9 . ISSN 1420-8997 . 
  18. ↑ Observaciones complementarias sobre los primeros seis libros de los Elementos de Euclides en el Companion to the Almanac , 1849.
  19. ↑ Heath 1956 , Vol. 1, pág. 314
  20. ↑ The College Mathematics Journal 42(5):372

Referencias

  • Playfair, John (1846). Elementos de geometría . WE Dean.
  • Eves, Howard (1963), Un estudio de la geometría (Volumen uno) , Boston: Allyn and Bacon
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
  • Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides ([Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press , 1908] 2.ª  ed.). Nueva York: Dover Publications .
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2(vol. 1), ISBN 0-486-60089-0(vol. 2), ISBN 0-486-60090-4(vol. 3).