Sustitución pletística

La sustitución pletística es una notación abreviada para un tipo común de sustitución en el álgebra de funciones simétricas y de polinomios simétricos . Esencialmente, se trata de una sustitución básica de variables, pero permite modificar el número de variables utilizadas.

La definición formal de sustitución pletística se basa en el hecho de que el anillo de funciones simétricas${\displaystyle \Lambda _{R}(x_{1},x_{2},\ldots )}$se genera como un álgebra R mediante funciones simétricas de suma de potencias

${\displaystyle p_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}+\cdots .}$

Para cualquier función simétrica${\displaystyle f}$y cualquier suma formal de monomios${\displaystyle A=a_{1}+a_{2}+\cdots }$, la sustitución pletística f[A] es la serie formal obtenida al realizar las sustituciones

${\displaystyle p_{k}\longrightarrow a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots }$

en la descomposición de${\displaystyle f}$como un polinomio en los p _k 's.

Si${\displaystyle X}$denota la suma formal${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots }$, entonces${\displaystyle f[X]=f(x_{1},x_{2},\ldots )}$.

Uno puede escribir${\displaystyle 1/(1-t)}$para denotar la suma formal${\displaystyle 1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots }$y así la sustitución pletística${\displaystyle f[1/(1-t)]}$es simplemente el resultado de configurar${\displaystyle x_{i}=t^{i-1}}$para cada i. Es decir,

${\displaystyle f\left[{\frac {1}{1-t}}\right]=f(1,t,t^{2},t^{3},\ldots )}$.

La sustitución pletística también se puede utilizar para cambiar el número de variables: si${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}$, entonces${\displaystyle f[X]=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es la función simétrica correspondiente en el anillo${\displaystyle \Lambda _{R}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$de funciones simétricas en n variables.

A continuación se enumeran otras sustituciones comunes. En todos los ejemplos siguientes,${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots }$y${\displaystyle Y=y_{1}+y_{2}+\cdots }$son sumas formales.

• Si${\displaystyle f}$es una función simétrica homogénea de grado${\displaystyle d}$, entonces

  ${\displaystyle f[tX]=t^{d}f(x_{1},x_{2},\ldots )}$

• Si${\displaystyle f}$es una función simétrica homogénea de grado${\displaystyle d}$, entonces

  ${\displaystyle f[-X]=(-1)^{d}\omega f(x_{1},x_{2},\ldots )}$,

dónde${\displaystyle \omega }$es la conocida involución en funciones simétricas que envía una función de Schur${\displaystyle s_{\lambda }}$a la función de Schur conjugada${\displaystyle s_{\lambda ^{\ast }}}$.

• La sustitución${\displaystyle S:f\mapsto f[-X]}$es el antípoda de la estructura del álgebra de Hopf en el anillo de funciones simétricas .
• ${\displaystyle p_{n}[X+Y]=p_{n}[X]+p_{n}[Y]}$
• El mapa${\displaystyle \Delta :f\mapsto f[X+Y]}$es el coproducto para la estructura del álgebra de Hopf en el anillo de funciones simétricas.
• ${\displaystyle h_{n}\left[X(1-t)\right]}$es la serie de Frobenius alternada para el álgebra exterior de la representación definitoria del grupo simétrico , donde${\displaystyle h_{n}}$denota la función simétrica homogénea completa de grado${\displaystyle n}$.
• ${\displaystyle h_{n}\left[X/(1-t)\right]}$es la serie de Frobenius para el álgebra simétrica de la representación definitoria del grupo simétrico.

• Combinatoria, funciones simétricas y esquemas de Hilbert (Haiman, 2002)

• M. Haiman, Combinatoria, funciones simétricas y esquemas de Hilbert, Current Developments in Mathematics 2002 , n.º 1 (2002), págs.  39–111.