Además de la construcción

En matemáticas , la construcción plus es un método para simplificar el grupo fundamental de un espacio sin cambiar sus grupos de homología y cohomología .

Explícitamente, si${\displaystyle X}$es un complejo CW conectado basado en y${\displaystyle P}$es un subgrupo normal perfecto de${\displaystyle \pi _{1}(X)}$luego un mapa${\displaystyle f\colon X\to Y}$se denomina una construcción +- relativa a${\displaystyle P}$si${\displaystyle f}$induce un isomorfismo en la homología, y${\displaystyle P}$es el núcleo de${\displaystyle \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)}$. ^{[ 1 ]}

La construcción plus fue introducida por Michel Kervaire ( 1969 ) y utilizada por Daniel Quillen para definir la K-teoría algebraica . Dado un subgrupo normal perfecto del grupo fundamental de un complejo CW conexo ${\displaystyle X}$, unir dos células a lo largo de bucles en${\displaystyle X}$cuyas imágenes en el grupo fundamental generan el subgrupo. Esta operación generalmente cambia la homología del espacio, pero estos cambios pueden revertirse mediante la adición de tres celdas.

La aplicación más común de la construcción plus se encuentra en la teoría K algebraica. Si${\displaystyle R}$es un anillo unitario , lo denotamos por${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$el grupo de invertibles${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$matrices con elementos en${\displaystyle R}$.${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$incrustaciones en${\displaystyle \operatorname {GL} _{n+1}(R)}$adjuntando un${\displaystyle 1}$a lo largo de la diagonal y${\displaystyle 0}$s en otros lugares. El límite directo de estos grupos a través de estos mapas se denota${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$y su espacio de clasificación se denota${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)}$La construcción más se puede aplicar entonces al subgrupo normal perfecto.${\displaystyle E(R)}$de${\displaystyle \operatorname {GL} (R)=\pi _{1}(B\operatorname {GL} (R))}$, generadas por matrices que solo difieren de la matriz identidad en una entrada fuera de la diagonal. Para${\displaystyle n>0}$, el${\displaystyle n}$-ésimo grupo de homotopía del espacio resultante,${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)^{+}}$, es isomorfo al${\displaystyle n}$-th${\displaystyle K}$-grupo de${\displaystyle R}$, eso es,

${\displaystyle \pi _{n}\left(B\operatorname {GL} (R)^{+}\right)\cong K_{n}(R).}$

• Semicobordismo

• Adams, J. Frank (1978), Espacios de bucles infinitos , Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. 82–95 , ISBN  0-691-08206-5
• Kervaire, Michel A. (1969), "Esferas de homología suaves y sus grupos fundamentales", Transactions of the American Mathematical Society , 144 : 67–72 , doi : 10.2307/1995269 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1995269 , MR 0253347   
• Quillen, Daniel (1971), "El espectro de un anillo de cohomología equivariante: I", Annals of Mathematics , Segunda serie, 94 (3): 549– 572, doi : 10.2307/1970770 , JSTOR 1970770 .
• Quillen, Daniel (1971), "El espectro de un anillo de cohomología equivariante: II", Annals of Mathematics , Segunda serie, 94 (3): 573– 602, doi : 10.2307/1970771 , JSTOR 1970771 .
• Quillen, Daniel (1972), "Sobre la cohomología y la K-teoría de los grupos lineales generales sobre un cuerpo finito", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 96 (3): 552– 586, doi : 10.2307/1970825 , JSTOR 1970825 .

• "Construcción plus" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]