Teorema de Pohlke

El teorema de Pohlke es el teorema fundamental de la axonometría . Fue establecido en 1853 por el pintor y profesor de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke . La primera demostración del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz , quien fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, a veces también se le conoce como el teorema de Pohlke y Schwarz .

• Tres secciones de línea arbitrarias${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$en un plano que se origina en el punto${\displaystyle {\overline {O}}}$, que no están contenidos en una línea, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas${\displaystyle OU,OV,OW}$de un cubo .

Para proyectar un cubo unitario, es necesario aplicar un escalado adicional, ya sea en el espacio o en el plano. Dado que una proyección paralela y un escalado conservan las proporciones, se puede proyectar un punto arbitrario.${\displaystyle P=(x,y,z)}$mediante el procedimiento axonométrico que se describe a continuación.

El teorema de Pohlke se puede expresar en términos de álgebra lineal de la siguiente manera:

• Cualquier mapeo afín del espacio tridimensional sobre un plano puede considerarse como la composición de una semejanza y una proyección paralela. ^{[ 1 ]}

El teorema de Pohlke justifica el siguiente procedimiento sencillo para construir una proyección paralela a escala de un objeto tridimensional utilizando coordenadas: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. Seleccione las imágenes de los ejes de coordenadas que no estén contenidas en una línea.
2. Elija cualquier eje de coordenadas para acortamientos${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. La imagen${\displaystyle {\overline {P}}}$de un punto${\displaystyle P=(x,y,z)}$está determinado por los tres pasos, comenzando en el punto${\displaystyle {\overline {O}}}$:

ir${\displaystyle v_{x}\cdot x}$en${\displaystyle {\overline {x}}}$-dirección, entonces

ir${\displaystyle v_{y}\cdot y}$en${\displaystyle {\overline {y}}}$-dirección, entonces

ir${\displaystyle v_{z}\cdot z}$en${\displaystyle {\overline {z}}}$-dirección y

4. Marca el punto como${\displaystyle {\overline {P}}}$.

Para obtener imágenes sin distorsión, es necesario elegir cuidadosamente las imágenes de los ejes y los acortamientos (véase Axonometría ). Para obtener una proyección ortográfica, solo las imágenes de los ejes son libres y los acortamientos están determinados (véase de:orthogonale Axonometrie ).

Schwarz formuló y demostró la afirmación más general:

• Los vértices de cualquier cuadrilátero pueden considerarse como una proyección oblicua paralela de los vértices de un tetraedro similar a un tetraedro dado. ^{[ 4 ]}

y utilizó un teorema de L'Huilier :

• Todo triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de un triángulo de una forma determinada.

• K. Pohlke : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Libros de Google).
• Schwarz, HA : Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. reine angew. Matemáticas. 63, 309–314, 1864.
• Arnold Emch: Demostración del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por afinidad , American Journal of Mathematics, vol. 40, n.º 4 (octubre de 1918), págs.  366-374 .

• F. Klein: El teorema fundamental de Pohlke , en Matemáticas elementales desde un punto de vista superior: Volumen II: Geometría , pág. 97 ,
• Christoph J. Scriba , Peter Schreiber: 5000 años de geometría: las matemáticas en la historia y la cultura, pág. 398.
• Teorema de Pohlke-Schwarz , Enciclopedia de Matemáticas.