Grupo Poincaré

El grupo de Poincaré , llamado así en honor a Henri Poincaré (1905), ^{[ 1 ]} fue definido por primera vez por Hermann Minkowski (1908) como el grupo de isometría del espaciotiempo de Minkowski . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Es un grupo de Lie no abeliano de diez dimensiones que es importante como modelo en nuestra comprensión de los fundamentos más básicos de la física .

El grupo de Poincaré comprende todas las transformaciones de coordenadas del espacio de Minkowski que no alteran el intervalo espaciotemporal entre eventos . Por ejemplo, si todo se retrasara dos horas, incluyendo los dos eventos y el trayecto entre ellos, el intervalo de tiempo registrado por el cronómetro sería el mismo. De igual modo, si todo se desplazara cinco kilómetros al oeste o girara 60 grados a la derecha, el intervalo tampoco se vería afectado. Resulta que la longitud propia de un objeto tampoco se ve alterada por dicho desplazamiento.

En total, existen diez grados de libertad para dichas transformaciones. Pueden considerarse como traslación a través del tiempo o el espacio (cuatro grados, uno por dimensión); reflexión a través de un plano (tres grados, la libertad de orientación de este plano); o un " impulso " en cualquiera de las tres direcciones espaciales (tres grados). La composición de transformaciones es la operación del grupo de Poincaré, donde las rotaciones se producen como la composición de un número par de reflexiones.

En física clásica , el grupo galileano es un grupo comparable de diez parámetros que actúa sobre el tiempo y el espacio absolutos . En lugar de transformaciones de Lorentz, utiliza transformaciones de cizallamiento para relacionar sistemas de referencia que se mueven conjuntamente.

En la relatividad general , es decir, bajo los efectos de la gravedad , la simetría de Poincaré se aplica solo localmente. El estudio de las simetrías en la relatividad general no entra dentro del alcance de este artículo.

La simetría de Poincaré es la simetría completa de la relatividad especial . Incluye:

• traslaciones (desplazamientos) en el tiempo y el espacio, formando el grupo de Lie abeliano de traslaciones espaciotemporales ( P );
• rotaciones en el espacio, formando el grupo de Lie no abeliano de rotaciones tridimensionales ( J );
• impulsos , transformaciones que conectan dos cuerpos que se mueven uniformemente ( K ).

Las dos últimas simetrías, J y K , forman conjuntamente el grupo de Lorentz (véase también invariancia de Lorentz ); el producto semidirecto del grupo de traslaciones espaciotemporales y el grupo de Lorentz da lugar al grupo de Poincaré. Se dice que los objetos que son invariantes bajo este grupo poseen invariancia de Poincaré o invariancia relativista .

10 generadores (en cuatro dimensiones espaciotemporales) asociados con la simetría de Poincaré, por el teorema de Noether , implican 10 leyes de conservación: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 1 para la energía – asociada con las traslaciones a través del tiempo
• 3 para el momento – asociado con traslaciones a través de dimensiones espaciales
• 3 para el momento angular – asociado con rotaciones entre dimensiones espaciales
• 3 para una magnitud que involucra la velocidad del centro de masa, asociada con rotaciones hiperbólicas entre cada dimensión espacial y tiempo.

El grupo de Poincaré es el grupo de isometrías espaciotemporales de Minkowski . Es un grupo de Lie no compacto de diez dimensiones . El grupo abeliano de cuatro dimensiones de traslaciones espaciotemporales es un subgrupo normal , mientras que el grupo de Lorentz de seis dimensiones también es un subgrupo, el estabilizador del origen. El propio grupo de Poincaré es el subgrupo mínimo del grupo afín que incluye todas las traslaciones y transformaciones de Lorentz . Más precisamente, es un producto semidirecto del grupo de traslaciones espaciotemporales y el grupo de Lorentz.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}$

con multiplicación de grupo

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^{[ 6 ]}

Dicho de otro modo, el grupo de Poincaré es una extensión del grupo de Lorentz mediante una representación vectorial del mismo; a veces se le denomina, informalmente, grupo de Lorentz no homogéneo . A su vez, también puede obtenerse como una contracción del grupo de De Sitter SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) , cuando el radio de De Sitter tiende a infinito.

Sus representaciones irreducibles unitarias de energía positiva están indexadas por masa (número no negativo) y espín ( entero o semi-entero) y están asociadas con partículas en mecánica cuántica (ver la clasificación de Wigner ).

De acuerdo con el programa de Erlangen , la geometría del espacio de Minkowski se define mediante el grupo de Poincaré: el espacio de Minkowski se considera un espacio homogéneo para el grupo.

En la teoría cuántica de campos , la cobertura universal del grupo de Poincaré

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}$

que puede identificarse con la doble cubierta

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}$

es más importante, porque las representaciones de${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$no son capaces de describir campos con espín 1/2; es decir, fermiones . Aquí${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}$es el grupo de complejo ${\displaystyle 2\times 2}$matrices con determinante unitario, isomorfas al grupo de espín de signatura de Lorentz${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$.

El álgebra de Poincaré es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré. Es una extensión del álgebra de Lie del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Más específicamente, el propio (${\textstyle \det \Lambda =1}$), ortócrono (${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$) parte del subgrupo de Lorentz (su componente identidad ),${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$, está conectado a la identidad y, por lo tanto, es proporcionado por la exponenciación${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$de esta álgebra de Lie . En forma de componentes, el álgebra de Poincaré viene dada por las relaciones de conmutación: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

dónde${\displaystyle P}$es el generador de traducciones,${\displaystyle M}$es el generador de transformaciones de Lorentz, y${\displaystyle \eta }$es el${\displaystyle (+,-,-,-)}$Métrica de Minkowski (véase Convención de signos ).

La relación de conmutación inferior es el grupo de Lorentz ("homogéneo"), que consta de rotaciones,${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$y potencia,${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$En esta notación, toda el álgebra de Poincaré se puede expresar en un lenguaje no covariante (pero más práctico) como

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}$

donde el conmutador de la línea inferior de dos transformaciones de Boost se suele denominar "rotación de Wigner". La simplificación${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$permite la reducción de la subálgebra de Lorentz a${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$y un tratamiento eficiente de sus representaciones asociadas . En términos de los parámetros físicos, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}$

Los invariantes de Casimir de esta álgebra son${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$y${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$dónde${\textstyle W_{\mu }}$es el pseudovector de Pauli-Lubanski ; sirven como etiquetas para las representaciones del grupo.

El grupo de Poincaré es el grupo de simetría completo de cualquier teoría de campos relativista . Como resultado, todas las partículas elementales se encuentran en representaciones de este grupo . Estas se especifican generalmente mediante el cuadrimomento al cuadrado de cada partícula (es decir, su masa al cuadrado) y los números cuánticos intrínsecos.${\textstyle J^{PC}}$, dónde${\displaystyle J}$es el número cuántico de espín ,${\displaystyle P}$es la paridad y${\displaystyle C}$es el número cuántico de conjugación de carga . En la práctica, la conjugación de carga y la paridad son violadas por muchas teorías cuánticas de campos ; donde esto ocurre,${\displaystyle P}$y${\displaystyle C}$se pierden. Dado que la simetría CPT es invariante en la teoría cuántica de campos, se puede construir un número cuántico de inversión temporal a partir de los dados.

Como espacio topológico , el grupo tiene cuatro componentes conexas: la componente de la identidad; la componente con inversión temporal; la componente de inversión espacial; y la componente que es a la vez con inversión temporal y espacial. ^{[ 9 ]}

Las definiciones anteriores pueden generalizarse a dimensiones arbitrarias de manera directa. El grupo de Poincaré d -dimensional se define análogamente mediante el producto semidirecto.

${\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}$

con la multiplicación análoga

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^{[ 6 ]}

El álgebra de Lie conserva su forma, con los índices µ y ν tomando ahora valores entre 0 y d − 1. La representación alternativa en términos de J _i y K _i no tiene análogo en dimensiones superiores.

• partícula de espín continuo
• grupo euclidiano
• grupo galileo
• Física de partículas y teoría de la representación
• pseudovector de Pauli-Lubanski
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Álgebra super-Poincaré
• Simetría en mecánica cuántica
• Clasificación de Wigner

• Wu-Ki Tung (1985). Teoría de grupos en física . World Scientific Publishing. ISBN 9971-966-57-3.
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . Vol.  1. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7.
• LH Ryder (1996). Teoría cuántica de campos (2.ª  ed.). Cambridge University Press. pág.  62. ISBN 0-52147-8146.