Teorema de recurrencia de Poincaré

En matemáticas y física , el teorema de recurrencia de Poincaré establece que ciertos sistemas dinámicos , tras un tiempo suficientemente largo pero finito, casi con certeza regresarán a un estado arbitrariamente cercano a su estado inicial. Este resultado se aplica a sistemas mecánicos aislados sujetos a ciertas restricciones; por ejemplo, todas las partículas deben estar confinadas a un volumen finito. Los sistemas a los que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré se denominan sistemas conservativos . El tiempo de recurrencia de Poincaré es el tiempo transcurrido hasta que se produce la recurrencia. Este tiempo puede variar considerablemente dependiendo del estado inicial exacto y del grado de proximidad requerido.

El teorema se suele analizar en el contexto de la teoría ergódica , los sistemas dinámicos y la mecánica estadística . Recibe su nombre de Henri Poincaré , quien lo expuso en 1890. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Constantin Carathéodory presentó una demostración utilizando la teoría de la medida en 1919. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Cualquier sistema dinámico definido por una ecuación diferencial ordinaria determina un mapa de flujo f ^t que mapea el espacio de fases en sí mismo. Cada punto del espacio de fases describe el estado completo del sistema, típicamente las posiciones y velocidades de todas las partículas involucradas. El mapa de flujo nos indica cómo evoluciona el sistema: si comienza en el estado x , entonces después de un tiempo t el sistema estará en el estado f ^t ( x ). Si seguimos este punto para todos los tiempos t , obtenemos la órbita de x . Se dice que el sistema conserva el volumen si el volumen de cada conjunto en el espacio de fases es invariante bajo el flujo. La formulación del teorema de Poincaré establece entonces:  

Si un flujo conserva el volumen y solo tiene órbitas acotadas, entonces, para cada conjunto abierto , existe una órbita que interseca este conjunto abierto infinitas veces. ^{[ 5 ]}

Podemos considerar el conjunto abierto como diminuto; la afirmación es que habrá órbitas que regresen a este conjunto diminuto. (De hecho, según formulaciones más modernas del teorema que se presentan a continuación, casi todas las órbitas que parten del conjunto diminuto regresarán infinitas veces).

Es fundamental suponer que todas las órbitas son acotadas: de lo contrario, las órbitas podrían "ir hacia el infinito" y no regresar jamás.

Otro supuesto importante es que el sistema conserva su volumen. Esta es una característica común de los sistemas físicos cuando no hay fricción ni resistencia del aire, no se inyecta energía y no se pierde energía en forma de calor. Técnicamente, todos los sistemas hamiltonianos conservan su volumen debido al teorema de Liouville . (Los sistemas que no conservan el volumen del espacio de fases y pierden energía con el tiempo podrían comenzar en un conjunto abierto muy pequeño y luego detenerse lentamente en otro lugar, sin volver jamás).

Como ejemplo del teorema, consideremos una mesa de billar (sin troneras) y un conjunto de bolas que se mueven sobre ella sin fricción, experimentando colisiones completamente elásticas con las bandas y las demás bolas. Esto garantiza que no se pierda energía y que el flujo conserve el volumen del espacio de fases. Incluso podemos considerar la presencia de elevaciones y depresiones en la mesa. Un punto en el espacio de fases especifica las posiciones y velocidades de todas las bolas. Si imponemos una energía total máxima a las bolas, el sistema tiene órbitas acotadas y se aplica el teorema de Poincaré. Este teorema establece que, al especificar las posiciones y velocidades iniciales de todas las bolas con precisión arbitraria (pero finita), habrá órbitas que comiencen de acuerdo con estas especificaciones y que regresen infinitas veces a condiciones que también concuerden con dichas especificaciones. Sin embargo, cabe señalar que no todas las órbitas necesariamente regresarán: es posible encontrar órbitas tan finamente ajustadas que algunas bolas se detendrán lentamente en la cima de las elevaciones, para no regresar jamás.

El teorema de recurrencia de Poincaré tiene aplicaciones en mecánica estadística , sistemas dinámicos y teoría ergódica . En mecánica estadística, se utiliza para predecir el comportamiento a largo plazo de sistemas aislados , como gases confinados a un volumen finito, donde se espera que el sistema regrese a un estado arbitrariamente cercano al inicial después de un tiempo suficiente.

En el estudio de sistemas dinámicos, el teorema se aplica a sistemas conservativos y proporciona información sobre las propiedades de recurrencia de las transformaciones que preservan la medida . Conceptos relacionados también aparecen en la teoría ergódica, donde la recurrencia desempeña un papel fundamental en la comprensión del comportamiento de las trayectorias a lo largo del tiempo. ^{[ 6 ]}

La prueba cualitativa se basa en dos premisas: ^{[ 7 ]}

1. Se puede establecer un límite superior finito para el volumen total del espacio de fases potencialmente accesible. Para un sistema mecánico, este límite se puede proporcionar exigiendo que el sistema esté contenido en una región física limitada del espacio (de modo que no pueda, por ejemplo, expulsar partículas que nunca regresen); combinado con la conservación de la energía, esto fija al sistema en una región finita del espacio de fases .
2. El volumen de fase de un elemento finito bajo dinámica se conserva.

Imagina cualquier volumen inicial finito${\displaystyle D}$del espacio de fases y seguir su trayectoria bajo la dinámica del sistema. ("Finito" aquí significa que el volumen es positivo). El volumen evoluciona a través de un "tubo de fase" en el espacio de fases, manteniendo su tamaño constante. Dado que el espacio de fases es finito, después de cierto número de pasos${\displaystyle k_{1}}$El tubo de fase debe intersecarse a sí mismo en algún volumen positivo. Al trasladar esta intersección hacia atrás en el tiempo, encontramos que al menos una fracción finita del volumen inicial es recurrente.

Ahora, consideremos el tamaño de la porción que no regresa.${\displaystyle D_{1}}$del volumen de la fase inicial: esa porción que nunca regresa al volumen inicial.${\displaystyle D}$. Utilizando el principio del último párrafo, sabemos que si${\displaystyle D_{1}}$es finito, entonces una parte finita de él debe regresar a${\displaystyle D_{1}}$después de una serie de pasos, y por lo tanto también regresa a${\displaystyle D}$Esto contradice el hecho de que todos${\displaystyle D_{1}}$no es retornable. Debemos concluir que la parte no retornable${\displaystyle D_{1}}$tiene volumen 0.

El teorema no comenta ciertos aspectos de la recurrencia que esta demostración no puede garantizar:

• Puede haber algunos puntos especiales en el espacio de fases que nunca regresan al volumen de fase inicial, o que solo regresan a él un número finito de veces y luego no vuelven a hacerlo. Estos son extremadamente raros y constituyen una parte infinitesimal de cualquier volumen inicial.
• Lo que sí se puede afirmar es que, para prácticamente cualquier fase inicial, un sistema acabará regresando a una posición arbitrariamente cercana a dicha fase. El tiempo de recurrencia varía en función del grado de proximidad requerido (el tamaño reducido del volumen de la fase).
• No todas las partes del volumen de fase tienen que regresar al mismo tiempo. Algunas "se pierden" el volumen inicial en la primera pasada, para luego regresar más tarde.
• Nada impide que el tubo de fase regrese completamente a su volumen inicial antes de que se agote todo el volumen de fase posible. Un ejemplo sencillo de esto es el oscilador armónico . Los sistemas que cubren todo el volumen de fase accesible se denominan ergódicos . (Esto, por supuesto, depende de la definición de "volumen accesible").
• Para una fase determinada en un volumen, la recurrencia no es necesariamente periódica. El tiempo de la segunda recurrencia no tiene por qué ser el doble del tiempo de la primera.
• El teorema no garantiza la existencia de una órbita periódica, es decir, de un punto del espacio de fases que regrese exactamente a sí mismo después de un cierto lapso de tiempo.

Dejar

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

ser un espacio de medida finito (lo que significa${\displaystyle \Sigma }$es un σ-álgebra en el conjunto${\displaystyle X}$y${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to {\mathbb {R}}} es una medida ) y sea

${\displaystyle f\colon X\to X}$

ser una transformación que preserva la medida (lo que significa que para cada${\displaystyle D\in \Sigma }$tenemos${\displaystyle f^{-1}(D)\in \Sigma }$y${\displaystyle \mu (f^{-1}(D))=\mu (D)}$). Entonces el teorema afirma:

Para cualquier${\displaystyle E\in \Sigma }$, el conjunto de esos puntos${\displaystyle x\in E}$para lo cual existe${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$a pesar de${\displaystyle n>N}$tiene medida cero; es decir

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:{\text{ existe }}N{\text{ tal que }}f^{n}(x)\notin E{\text{ para todo }}n>N\}\right)=0.}$

En otras palabras, casi todos los puntos de${\displaystyle E}$regresa a${\displaystyle E}$infinitas veces .

Para sistemas mecánicos cuánticos independientes del tiempo con autoestados de energía discretos, se cumple un teorema similar. Para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$y${\displaystyle T_{0}>0}$existe un tiempo T mayor que${\displaystyle T_{0}}$, de tal manera que${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon }$, dónde${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$denota el vector de estado del sistema en el instante t . ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} 

Los elementos esenciales de la demostración son los siguientes. El sistema evoluciona en el tiempo según:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle }$

donde el${\displaystyle E_{n}}$son los autovalores de energía (usamos unidades naturales , por lo tanto)${\displaystyle \hbar =1}$), y el${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$son los autoestados de energía . La norma al cuadrado de la diferencia del vector de estado en el tiempo${\displaystyle T}$y el tiempo cero se puede escribir como:

${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

Podemos truncar la suma en algún n  = N independiente de T , porque 

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

que puede hacerse arbitrariamente pequeño aumentando N , como la suma${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$, siendo la norma al cuadrado del estado inicial, converge a  1.

La suma finita

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

puede hacerse arbitrariamente pequeño para elecciones específicas del tiempo T , según la siguiente construcción. Elija un arbitrario${\displaystyle \delta >0}$y luego elige T de tal manera que haya números enteros ${\displaystyle k_{n}}$que satisface

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta }$,

para todos los números${\displaystyle 0\leq n\leq N}$. Para esta elección específica de T ,

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$

Por lo tanto, tenemos:

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}$.

El vector de estado${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$de esta forma regresa arbitrariamente cerca del estado inicial.${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$.

• Mapa del gato de Arnold
• Hipótesis ergódica
• Eterno retorno
• renacimiento cuántico
• Entropía de densidad del período de recurrencia
• Diagrama de recurrencia
• Conjunto errante

• Page, Don N. (25 de noviembre de 1994). "¿Pérdida de información en agujeros negros y/o seres conscientes?". arXiv : hep-th/9411193 .

• Padilla, Tony. "El tiempo más largo" . Numberphile . Brady Haran . Archivado del original el 27 de noviembre de 2013. Recuperado el 8 de abril de 2013 .Versión reciente del sitio original.
• "El mapa del gato de Arnold: una ilustración gráfica interactiva del teorema de recurrencia de Poincaré" .

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