Separación de pares puntuales

En matemáticas , dos pares de puntos en un orden cíclico , como la recta proyectiva real, se separan cuando aparecen alternativamente en dicho orden. Así, en el orden abcd de cuatro puntos, los pares que se separan son ( a,c ) y ( b,d ). Esta separación entre pares de puntos es un invariante de las proyectividades de la recta.

El concepto fue descrito por GB Halsted al comienzo de su Geometría Proyectiva Sintética :

Con respecto a un par de puntos distintos de una recta, todos los demás se dividen en dos clases, de modo que cada punto pertenece a una y solo una. Si dos puntos pertenecen a clases distintas con respecto a un par de puntos, entonces también los dos últimos pertenecen a clases distintas con respecto a los dos primeros. Se dice que dos pares de puntos de este tipo se "separan entre sí". Cuatro puntos distintos de una recta siempre pueden dividirse de una y solo una manera en pares que se separan entre sí. ^{[ 1 ]}

Dado cualquier par de puntos en una línea proyectiva, estos separan un tercer punto de su conjugado armónico .

Un par de líneas trazadas con un lápiz separan a otro par cuando una transversal cruza los pares en puntos separados.

La separación de pares de puntos fue escrita AC//BD por HSM Coxeter en su libro de texto El plano proyectivo real . ^{[ 2 ]}

Mientras que un orden lineal dota a un conjunto de un extremo positivo y un extremo negativo, otra relación olvida no solo cuál es cuál extremo, sino también dónde se ubican los extremos. De esta manera, constituye un debilitamiento final y adicional de los conceptos de relación de intermediación y orden cíclico . No hay nada más que pueda olvidarse: salvo en el sentido pertinente de interdefinibilidad, estas tres relaciones son los únicos reductos no triviales del conjunto ordenado de números racionales . ^{[ 3 ]}

Se define una relación cuaternaria S(a, b, c, d) que satisface ciertos axiomas, lo cual se interpreta como una afirmación de que a y c separan a b de d . ^{[ 4 ] [ 5 ]}