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Colección puntual finita

En matemáticas , una colección o familia U {\displaystyle {\mathcal {U}}} de subconjuntos de un espacio topológico incógnita {\displaystyle X} Se dice que es puntualmente finito...

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En matemáticas , una colección o familiaU{\displaystyle {\mathcal {U}}}de subconjuntos de un espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}Se dice que es puntualmente finito si cada punto deincógnita{\displaystyle X}reside en solo un número finito de miembros deU.{\displaystyle {\mathcal {U}}.}[ 1 ] [ 2 ]

Un espacio metacompacto es un espacio topológico en el que toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto puntualmente finito . Toda colección localmente finita de subconjuntos de un espacio topológico también es puntualmente finita. Un espacio topológico en el que toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito se denomina espacio paracompacto . Por lo tanto, todo espacio paracompacto es metacompacto. [ 2 ]

Teorema de Dieudonné

Teorema — [ 3 ] [ 4 ] Un espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}es normal si y solo si cada cubierta abierta puntualmente finita deincógnita{\displaystyle X}tiene una contracción ; es decir, si{Ui∣i∈I}{\displaystyle \{U_{i}\mid i\in I\}}es una portada abierta indexada por un conjuntoI{\displaystyle I}Hay una tapa abierta.{Vi∣i∈I}{\displaystyle \{V_{i}\mid i\in I\}}indexados por el mismo conjuntoI{\displaystyle I}de tal manera queVi¯⊂Ui{\displaystyle {\overline {V_{i}}}\subset U_{i}}para cadai∈I{\displaystyle i\in I}.

La demostración original utiliza el lema de Zorn , mientras que Willard utiliza la recursión transfinita .

Referencias

  1. ↑ Willard 2012 , págs. 145–152.
  2. 1 2 Willard, Stephen (2012), Topología general , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, pp. 145–152 , ISBN  9780486131788, OCLC 829161886 .
  3. ^ Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65– 76, ISSN 0021-7824 , MR 0013297  , Teorema 6.
  4. ↑ Willard 2012 , Teorema 15.10.

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