Punto por punto

En matemáticas , el calificador " puntualmente" se utiliza para indicar que una determinada propiedad se define considerando cada valor. $f(x)$ de alguna función $f.$ Una clase importante de conceptos puntuales son las operaciones puntuales , es decir, operaciones definidas sobre funciones aplicándolas a los valores de la función por separado para cada punto del dominio de definición. También se pueden definir relaciones importantes de forma puntual.

Operaciones puntuales

Definición formal

Una operación binaria $o : Y \times Y \to Y$ en un conjunto $Y$ se puede elevar punto por punto a una operación $O : (X \to Y) \times (X \to Y) \to (X \to Y)$ en el conjunto $X \to Y$ de todas las funciones de $X$ a $Y$ de la siguiente manera: Dadas dos funciones $f 1 : X \to Y$ y $f 2 : X \to Y$ , defina la función $O (f 1, f 2): X \to Y$ mediante

(O (f 1, f 2))(x) = o (f 1 (x), f 2 (x))

para todo

x \in X

.

Comúnmente, o y O se denotan con el mismo símbolo. Se utiliza una definición similar para las operaciones unarias o y para las operaciones de otra aridad .

Ejemplos

La suma puntual $f+g$ de dos funciones $f$ y $g$ con el mismo dominio y codominio se define por:

(f+g)(x)=f(x)+g(x).

El producto punto por punto o la multiplicación punto por punto es:

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).

El producto puntual con un escalar se suele escribir con el término escalar primero. Por lo tanto, cuando $\lambda$ es un escalar :

(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).

Un ejemplo de operación sobre funciones que no es puntual es la convolución .

Propiedades

Las operaciones puntuales heredan propiedades como la asociatividad , la conmutatividad y la distributividad de las operaciones correspondientes en el codominio . Si $A$ es alguna estructura algebraica , el conjunto de todas las funciones $X$ al conjunto portador de $A$ puede transformarse en una estructura algebraica del mismo tipo de forma análoga.

Operaciones por componentes

Las operaciones por componentes se definen generalmente en vectores, donde los vectores son elementos del conjunto. $K^{n}$ para algún número natural $n$ y algunos campos $K$ . Si denotamos el $i$ -ésimo componente de cualquier vector $v$ como $v_{i}$ , entonces la suma componente por componente es $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$ .

Las operaciones componente a componente se pueden definir en matrices. Suma de matrices, donde $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$ es una operación componente a componente, mientras que la multiplicación de matrices no lo es.

Una tupla puede considerarse una función, y un vector es una tupla. Por lo tanto, cualquier vector $v$ corresponde a la función $f:n\to K$ de tal manera que $f(i)=v_{i}$ y cualquier operación componente a componente sobre vectores es la operación punto a punto sobre las funciones correspondientes a esos vectores.

Relaciones puntuales

En la teoría del orden es común definir un orden parcial puntual en funciones. Con A y B posets , el conjunto de funciones A → B puede ordenarse definiendo f ≤ g si $(\forall x \in A) f (x) \leq g (x)$ . Los órdenes puntuales también heredan algunas propiedades de los posets subyacentes. Por ejemplo, si A y B son retículos continuos , entonces también lo es el conjunto de funciones A → B con orden puntual. ^{[ 1 ]} Usando el orden puntual en funciones se pueden definir concisamente otras nociones importantes, por ejemplo: ^{[ 2 ]}

Un operador de cierre c en un poset P es un automapa monótono e idempotente en P (es decir, un operador de proyección ) con la propiedad adicional de que id _A ≤ c , donde id es la función identidad .
De manera similar, un operador de proyección k se denomina operador de núcleo si y solo si k ≤ id _A .

Un ejemplo de una relación puntual infinita es la convergencia puntual de funciones : una secuencia de funciones. $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ con $f_{n}:X\longrightarrow Y$ converge puntualmente a una función $f$ si para cada $x$ en $X$ $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).$

Notas

↑ Gierz et al., pág. xxxiii
↑ Gierz, et al., pág. 26

Referencias

Ejemplos de teoría del orden:

TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Retículos y dominios continuos , Cambridge University Press, 2003.

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[1] Gierz et al., pág. xxxiii

[2] Gierz, et al., pág. 26

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