distribución binomial de Poisson

La probabilidad de tener k ensayos exitosos de un total de n se puede escribir como la suma ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$

dónde${\displaystyle F_{k}}$es el conjunto de todos los subconjuntos de k enteros que se pueden seleccionar de${\displaystyle \{1,2,3,...,n\}}$. Por ejemplo, si n  =  3, entonces${\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}}$.${\displaystyle A^{c}}$es el complemento de${\displaystyle A}$, es decir${\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\smallsetminus A}$.

${\displaystyle F_{k}}$contendrá${\displaystyle n!/((nk)!k!)}$elementos, cuya suma es inviable de calcular en la práctica a menos que el número de ensayos n sea pequeño (por ejemplo, si n  =  30,${\displaystyle F_{15}}$contiene más de 10 ²⁰ elementos). Sin embargo, existen otras formas más eficientes de calcular${\displaystyle \Pr(K=k)}$.

Siempre que ninguna de las probabilidades de éxito sea igual a uno, se puede calcular la probabilidad de k éxitos utilizando la fórmula recursiva ^{[ 2 ] [ 3 ].}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=ki)T(i)&k>0\\\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.}$

La fórmula recursiva no es numéricamente estable y debe evitarse si${\displaystyle n}$es mayor que aproximadamente 20.

Una alternativa es utilizar un algoritmo de divide y vencerás : si asumimos${\displaystyle n=2^{b}}$es una potencia de dos, denotando por${\displaystyle f(p_{i:j})}$la distribución binomial de Poisson de${\displaystyle p_{i},\dots ,p_{j}}$y${\displaystyle *}$el operador de convolución , tenemos${\displaystyle f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})}$.

De forma más general, la función de probabilidad de masa de un binomio de Poisson puede expresarse como la convolución de los vectores${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$dónde${\displaystyle P_{i}=[1-p_{i},p_{i}]}$Esta observación conduce al algoritmo de convolución directa (DC) para el cálculo.${\displaystyle \Pr(K=0)}$a través de${\displaystyle \Pr(K=n)}$:

// PMF y nextPMF comienzan en el índice 0 función DC(${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$) es declarar un nuevo array PMF de tamaño 1 PMF[0] = [1] para i = 1 a${\displaystyle n}$hacer declarar un nuevo array nextPMF de tamaño i + 1 nextPMF[0] = (1 -${\displaystyle p_{i}}$) * PMF[0] nextPMF[i] =${\displaystyle p_{i}}$* PMF[i - 1] para k = 1 hasta i - 1 hacer nextPMF[k] =${\displaystyle p_{i}}$* PMF[k - 1] + (1 -${\displaystyle p_{i}}$) * PMF[k] repetir PMF = nextPMF repetir devolver PMF fin de función

${\displaystyle \Pr(K=k)}$se encontrará en PMF[k]. DC es numéricamente estable, exacto y, cuando se implementa como una rutina de software, excepcionalmente rápido para${\displaystyle n\leq 2000}$También puede ser bastante rápido para objetos más grandes.${\displaystyle n}$, dependiendo de la distribución de la${\displaystyle p_{i}}$. ^{[ 4 ]}

Otra posibilidad es utilizar la transformada discreta de Fourier . ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum _{\ell =0}^{n}C^{-lk}\prod _{m=1}^{n}\left(1+(C^{\ell }-1)p_{m}\right)}$

dónde${\displaystyle C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)}$y${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$.

Otros métodos se describen en "Aplicaciones estadísticas de las distribuciones de Poisson-binomial y Bernoulli condicional" de Chen y Liu ^{[ 6 ]} y en "Un método simple y rápido para calcular la función de distribución binomial de Poisson" de Biscarri et al. ^{[ 4 ].}

La función de distribución acumulativa (FDA) se puede expresar como:

${\displaystyle \Pr(K\leq k)=\sum _{\ell =0}^{k}\sum _{A\in F_{\ell }}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}$

dónde${\displaystyle F_{\ell }}$es el conjunto de todos los subconjuntos de tamaño${\displaystyle \ell }$que se pueden seleccionar de${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$.

Se puede calcular invocando la función DC anterior y luego sumando elementos.${\displaystyle 0}$a través de${\displaystyle k}$del array PMF devuelto.

Dado que una variable con distribución binomial de Poisson es una suma de n variables independientes con distribución de Bernoulli, su media y varianza serán simplemente la suma de la media y la varianza de las n distribuciones de Bernoulli:

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$

No existe una fórmula sencilla para la entropía de una distribución binomial de Poisson, pero la entropía está acotada superiormente por la entropía de una distribución binomial con el mismo parámetro numérico y la misma media. Por lo tanto, la entropía también está acotada superiormente por la entropía de una distribución de Poisson con la misma media. ^{[ 7 ]}

La conjetura de concavidad de Shepp-Olkin, debida a Lawrence Shepp e Ingram Olkin en 1981, afirma que la entropía de una distribución binomial de Poisson es una función cóncava de las probabilidades de éxito.${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$[ ^{8 ]} Esta conjetura fue demostrada por Erwan Hillion y Oliver Johnson en 2015. ^{[ 9 ]} La conjetura de monotonicidad de Shepp-Olkin, también del mismo artículo de 1981, es que la entropía es monótonamente creciente ^en${\displaystyle p_{i}}$, si todos${\displaystyle p_{i}\leq 1/2}$. Esta conjetura también fue demostrada por Hillion y Johnson, en 2019. ^{[ 10 ]}

La probabilidad de que una distribución binomial de Poisson sea grande se puede acotar utilizando su función generadora de momentos de la siguiente manera (válido cuando${\displaystyle s\geq \mu }$y para cualquier${\displaystyle t>0}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[S\geq s]&\leq \exp(-st)\operatorname {E} \left[\exp \left[t\sum _{i}X_{i}\right]\right]\\&=\exp(-st)\prod _{i}(1-p_{i}+e^{t}p_{i})\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(p_{i}(e^{t}-1)+1\right)\right)\\&\leq \exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(\exp(p_{i}(e^{t}-1))\right)\right)\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}p_{i}(e^{t}-1)\right)\\&=\exp \left(s-\mu -s\log {\frac {s}{\mu }}\right),\end{aligned}}}$

donde tomamos${\textstyle t=\log \left(s/\mu \right)}$Esto es similar a los límites de la cola de una distribución binomial .

Una distribución binomial de Poisson${\displaystyle PB}$puede aproximarse mediante una distribución binomial${\displaystyle B}$dónde${\displaystyle \mu }$, la media de la${\displaystyle p_{i}}$, es la probabilidad de éxito de${\displaystyle B}$. Las variaciones de${\displaystyle PB}$y${\displaystyle B}$están relacionados por la fórmula

${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\operatorname {Var} (B)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}$

Como se puede observar, cuanto más cerca esté el${\displaystyle p_{i}}$son a${\displaystyle \mu }$, es decir, cuanto más el${\displaystyle p_{i}}$tienden a la homogeneidad, cuanto mayor sea${\displaystyle PB}$la varianza. Cuando todos los${\displaystyle p_{i}}$son iguales a${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle PB}$se convierte${\displaystyle B}$,${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\operatorname {Var} (B)}$y la varianza está en su máximo. ^{[ 1 ]}

Ehm ha determinado límites para la distancia de variación total de${\displaystyle PB}$y${\displaystyle B}$, en efecto, proporcionando límites al error introducido al aproximar${\displaystyle PB}$con${\displaystyle B}$. Dejar${\displaystyle \nu =1-\mu }$y${\displaystyle d(PB,B)}$sea ​​la distancia de variación total de${\displaystyle PB}$y${\displaystyle B}$. Entonces

${\displaystyle d(PB,B)\leq (1-\mu ^{n+1}-\nu ^{n+1}){\frac {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}{((n+1)\mu \nu )}}}$

${\displaystyle d(PB,B)\geq C\min \left\{\,1,{\frac {1}{n\mu \nu }}\,\right\}\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}$

dónde${\displaystyle C\geq {\frac {1}{124}}}$.

${\displaystyle d(PB,B)}$tiende a 0 si y solo si${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)/\operatorname {Var} (B)}$tiende a 1. ^{[ 11 ]}

Una distribución binomial de Poisson${\displaystyle PB}$También se puede aproximar mediante una distribución de Poisson.${\displaystyle Po}$con significa${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$. Barbour y Hall han demostrado que

${\displaystyle {\frac {1}{32}}\min \left\{\,{\frac {1}{\lambda }},1\,\right\}\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\leq d(PB,Po)\leq {\frac {1-e^{-\lambda }}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$

dónde${\displaystyle d(PB,B)}$es la distancia de variación total de${\displaystyle PB}$y${\displaystyle Po}$. ^{[ 12 ]} Se puede observar que cuanto más pequeño es el${\displaystyle p_{i}}$cuanto mejor${\displaystyle Po}$aproximaciones${\displaystyle PB}$.

Como${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)=\lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$y${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}-\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$,${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)\operatorname {Var} (PB)}$; por lo tanto, la varianza de una distribución binomial de Poisson está acotada superiormente por una distribución de Poisson con ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$y cuanto más pequeño el${\displaystyle p_{i}}$, cuanto más cerca${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)}$será a${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)}$.