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Articulo de referencia

Teorema del límite de Poisson

Comparación de la distribución de Poisson (líneas negras) y la distribución binomial con n = 10 (círculos rojos), n = 20 (círculos azules) y n = 1000 (círculos verdes). Todas la...

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Comparación de la distribución de Poisson (líneas negras) y la distribución binomial con n = 10 (círculos rojos), n = 20 (círculos azules) y n = 1000 (círculos verdes). Todas las distribuciones tienen una media de 5. El eje horizontal muestra el número de eventos k . A medida que n aumenta, la distribución de Poisson se convierte en una aproximación cada vez mejor de la distribución binomial con la misma media.  

En teoría de la probabilidad , la ley de eventos raros o teorema límite de Poisson establece que la distribución de Poisson puede usarse como una aproximación a la distribución binomial , bajo ciertas condiciones. [ 1 ] El teorema recibió su nombre de Siméon Denis Poisson (1781 – 1840). Una generalización de este teorema es  el teorema de Le Cam .

Teorema

Dejarpagnorte{\displaystyle p_{n}}sea ​​una secuencia de números reales en[0,1]{\displaystyle [0,1]}de tal manera que la secuencianortepagnorte{\displaystyle np_{n}}converge a un límite finitoλ{\displaystyle \lambda }. Entonces:

límitenorte→∞(nortek)pagnortek(1−pagnorte)norte−k=mi−λλkk¡{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}

Primera prueba

Asumirλ>0{\displaystyle \lambda >0}(el casoλ=0{\displaystyle \lambda =0}es más fácil). Entonces

límitenorte→∞(nortek)pagnortek(1−pagnorte)norte−k=límitenorte→∞norte(norte−1)(norte−2)…(norte−k+1)k¡(λnorte(1+o(1)))k(1−λnorte(1+o(1)))norte−k=límitenorte→∞nortek+O(nortek−1)k¡λknortek(1−λnorte(1+o(1)))norte(1−λnorte(1+o(1)))−k=límitenorte→∞λkk¡(1−λnorte(1+o(1)))norte.{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{nk}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}.\end{aligned}}}

Desde

límitenorte→∞(1−λnorte(1+o(1)))norte=mi−λ{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}=e^{-\lambda }}

esto deja

(nortek)pagk(1−pag)norte−k≃λkmi−λk¡.{\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}

Prueba alternativa

Utilizando la aproximación de Stirling , se puede escribir:

(nortek)pagk(1−pag)norte−k=norte¡(norte−k)¡k¡pagk(1−pag)norte−k≃2πnorte(nortemi)norte2π(norte−k)(norte−kmi)norte−kk¡pagk(1−pag)norte−k=nortenorte−knortenortemi−k(norte−k)norte−kk¡pagk(1−pag)norte−k.{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&={\frac {n!}{(nk)!k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(nk\right)}}\left({\frac {nk}{e}}\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&={\sqrt {\frac {n}{nk}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}.\end{aligned}}}

Alquilernorte→∞{\displaystyle n\to \infty }ynortepag=λ{\displaystyle np=\lambda }:

(nortek)pagk(1−pag)norte−k≃nortenortepagk(1−pag)norte−kmi−k(norte−k)norte−kk¡=nortenorte(λnorte)k(1−λnorte)norte−kmi−knortenorte−k(1−knorte)norte−kk¡=λk(1−λnorte)norte−kmi−k(1−knorte)norte−kk¡≃λk(1−λnorte)nortemi−k(1−knorte)nortek¡.{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{nk}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{n^{nk}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}}

Comonorte→∞{\displaystyle n\to \infty },(1−incógnitanorte)norte→mi−incógnita{\displaystyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}}entonces:

(nortek)pagk(1−pag)norte−k≃λkmi−λmi−kmi−kk¡=λkmi−λk¡{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}}

Funciones generadoras ordinarias

También es posible demostrar el teorema mediante el uso de funciones generadoras ordinarias de la distribución binomial:

GRAMOpapelera(incógnita;pag,norte)≡∑k=0norte[(nortek)pagk(1−pag)norte−k]incógnitak=[1+(incógnita−1)pag]norte{\displaystyle G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{Nk}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}}

en virtud del teorema del binomio . Tomando el límitenorte→∞{\displaystyle N\rightarrow \infty }mientras se mantiene el productopagnorte≡λ{\displaystyle pN\equiv \lambda }constante, se puede ver:

límitenorte→∞GRAMOpapelera(incógnita;pag,norte)=límitenorte→∞[1+λ(incógnita−1)norte]norte=miλ(incógnita−1)=∑k=0∞[mi−λλkk¡]incógnitak{\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}}

que es la OGF para la distribución de Poisson. (La segunda igualdad se cumple debido a la definición de la función exponencial ).

Véase también

Referencias

  1. ↑ Papoulis, Athanasios ; Pillai, S. Unnikrishna . Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos (4.ª  ed.).