ecuación de Poisson

En el caso de un campo gravitatorio g debido a un objeto masivo atractor de densidad ρ , la ley de Gauss para la gravedad en forma diferencial se puede utilizar para obtener la ecuación de Poisson correspondiente para la gravedad. La ley de Gauss para la gravedad es: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

Dado que el campo gravitatorio es conservativo (e irrotacional ), puede expresarse en términos de un potencial escalar ϕ : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

Sustituyendo esto en la ley de Gauss, $${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,}$$ produce la ecuación de Poisson para la gravedad: $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

Si la densidad de masa es cero, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace. La función de Green correspondiente se puede utilizar para calcular el potencial a una distancia r de una masa puntual central m (es decir, la solución fundamental ). En tres dimensiones, el potencial es $${\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}$$ lo cual es equivalente a la ley de gravitación universal de Newton .

Muchos problemas en electrostática se rigen por la ecuación de Poisson, que relaciona el potencial eléctrico φ con la densidad de carga libre. ${\displaystyle \rho _{f}}$, como las que se encuentran en los conductores .

Los detalles matemáticos de la ecuación de Poisson, comúnmente expresada en unidades del SI (a diferencia de las unidades gaussianas ), describen cómo la distribución de cargas libres genera el potencial electrostático en una región determinada .

Partiendo de la ley de Gauss para la electricidad (también una de las ecuaciones de Maxwell ) en forma diferencial, se tiene: $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$es el operador de divergencia , D es el campo de desplazamiento eléctrico y ρ _f es la densidad de carga libre (que describe las cargas traídas del exterior).

Suponiendo que el medio es lineal, isotrópico y homogéneo (véase la densidad de polarización ), tenemos la ecuación constitutiva.$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}$$ donde ε es la permitividad del medio y E es el campo eléctrico .

Sustituyendo esto en la ley de Gauss y suponiendo que ε es espacialmente constante en la región de interés se obtiene $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$ En electrostática, asumimos que no hay campo magnético (el argumento que sigue también es válido en presencia de un campo magnético constante). ^{[ 3 ]} Entonces, tenemos que $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$$ donde ∇× es el operador rotacional . Esta ecuación significa que podemos escribir el campo eléctrico como el gradiente de una función escalar φ (llamado potencial eléctrico ), ya que el rotacional de cualquier gradiente es cero. Por lo tanto, podemos escribir $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$$ donde se introduce el signo menos para que φ se identifique como la energía potencial eléctrica por unidad de carga. ^{[ 4 ]}

La derivación de la ecuación de Poisson en estas circunstancias es sencilla. Sustituyendo el gradiente de potencial por el campo eléctrico, $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},}$$ produce directamente la ecuación de Poisson para la electrostática, que es $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

Para especificar la ecuación de Poisson para el potencial, es necesario conocer la distribución de densidad de carga. Si la densidad de carga es cero, se obtiene la ecuación de Laplace . Si la densidad de carga sigue una distribución de Boltzmann , se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann . Esta ecuación desempeña un papel fundamental en el desarrollo de la teoría de Debye-Hückel para soluciones electrolíticas diluidas .

Utilizando una función de Green, el potencial a una distancia r de una carga puntual central Q (es decir, la solución fundamental ) es $${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},}$$ que es la ley de Coulomb de la electrostática. (Por razones históricas, y a diferencia del modelo de gravedad anterior, la${\displaystyle 4\pi }$(Este factor aparece aquí y no en la ley de Gauss).

La discusión anterior presupone que el campo magnético no varía con el tiempo. La misma ecuación de Poisson se obtiene incluso si varía con el tiempo, siempre que se utilice la calibración de Coulomb . En esta clase de casos más general, calcular φ ya no es suficiente para calcular E , puesto que E también depende del potencial vectorial magnético A , que debe calcularse de forma independiente. Consulte la ecuación de Maxwell en formulación potencial para obtener más información sobre φ y A en las ecuaciones de Maxwell y cómo se obtiene una ecuación de Poisson adecuada en este caso.

La reconstrucción de superficies es un problema inverso . El objetivo es reconstruir digitalmente una superficie lisa a partir de un gran número de puntos p _i (una nube de puntos ), donde cada punto también contiene una estimación de la normal local de la superficie n _i . ^{[ 7 ]} La ​​ecuación de Poisson se puede utilizar para resolver este problema con una técnica denominada reconstrucción de superficies de Poisson. ^{[ 8 ]}

El objetivo de esta técnica es reconstruir una función implícita f cuyo valor sea cero en los puntos p _i y cuyo gradiente en los puntos p _i sea igual a los vectores normales n _i . El conjunto de ( p _i , n _i ) se modela así como un campo vectorial continuo V . La función implícita f se obtiene integrando el campo vectorial V . Dado que no todo campo vectorial es el gradiente de una función, el problema puede o no tener solución: la condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial suave V sea el gradiente de una función f es que el rotacional de V sea idénticamente cero. En caso de que esta condición sea difícil de imponer, aún es posible realizar un ajuste por mínimos cuadrados para minimizar la diferencia entre V y el gradiente de f .

Para aplicar eficazmente la ecuación de Poisson al problema de reconstrucción de superficies, es necesario encontrar una buena discretización del campo vectorial V. El enfoque básico consiste en delimitar los datos con una malla de diferencias finitas . Para una función con valores en los nodos de dicha malla, su gradiente puede representarse con valores en mallas escalonadas, es decir, en mallas cuyos nodos se encuentran entre los nodos de la malla original. Es conveniente definir tres mallas escalonadas, cada una desplazada en una única dirección correspondiente a las componentes de los datos normales. En cada malla escalonada se realiza una interpolación trilineal sobre el conjunto de puntos. Los pesos de interpolación se utilizan para distribuir la magnitud de la componente asociada de n _i en los nodos de la celda de la malla escalonada que contiene p _i . Kazhdan y colaboradores proponen un método de discretización más preciso mediante una malla de diferencias finitas adaptativa, donde las celdas son más pequeñas (la malla está más finamente dividida) y donde hay más puntos de datos. ^{[ 8 ]} Sugieren implementar esta técnica con un octree adaptativo .

Para las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles , dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$$

La ecuación para el campo de presión${\displaystyle p}$es un ejemplo de una ecuación de Poisson no lineal: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}$$Nótese que el rastro anterior no tiene signo definido.

La conducción térmica se modela mediante la ecuación del calor . La conducción de calor en estado estacionario con un término fuente se modela mediante la siguiente ecuación de Poisson:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\vartheta =-{\frac {\Phi }{\lambda }},}$$

dónde${\displaystyle \vartheta }$es la temperatura,${\displaystyle \Phi }$es el término fuente de calor y${\displaystyle \lambda }$es la conductividad térmica .