Trigonometría esférica

Un polígono esférico es un polígono situado en la superficie de la esfera. Sus lados son arcos de círculos máximos , el equivalente en geometría esférica de los segmentos de línea en geometría plana .

Estos polígonos pueden tener cualquier número de lados mayor que uno. Los polígonos esféricos de dos lados —lunas , también llamados digones o biángulos— están delimitados por dos arcos de círculo máximo: un ejemplo conocido es la superficie curva exterior de un segmento de naranja. Tres arcos definen un triángulo esférico, tema principal de este artículo. Los polígonos con mayor número de lados (cuadriláteros esféricos de cuatro lados, pentágonos esféricos de cinco lados, etc.) se definen de manera similar. De forma análoga a sus contrapartes planas, los polígonos esféricos con más de tres lados siempre pueden considerarse como la composición de triángulos esféricos.

Un polígono esférico con propiedades interesantes es el pentagrama mirificum , un polígono estrellado esférico de 5 lados con un ángulo recto en cada vértice.

A partir de este punto del artículo, la discusión se limitará a los triángulos esféricos, a los que nos referiremos simplemente como triángulos .

• Tanto los vértices como los ángulos en los vértices de un triángulo se denotan con las mismas letras mayúsculas A , B y C.
• Las longitudes de los lados de una esfera de radio unitario se denotan con letras minúsculas: a , b y c . Las longitudes de los lados y los ángulos en minúscula son equivalentes cuando estos últimos se miden en radianes (véase longitud de arco ). Por convención, los lados de los triángulos esféricos propios son menores que π radianes, y$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$$(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.22,32).
• El ángulo A (respectivamente, B y C ) puede considerarse como el ángulo diedro entre los dos planos que intersecan la esfera en el vértice A , o, equivalentemente, como el ángulo entre las tangentes de los arcos de círculo máximo donde se encuentran en el vértice. Los ángulos de los triángulos esféricos propios son (por convención) menores que π radianes, y$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi }$$(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.22,32).
  En particular, la suma de los ángulos de un triángulo esférico es estrictamente mayor que la suma de los ángulos de un triángulo definido en el plano euclidiano, que siempre es exactamente π radianes.
• El radio de la esfera se considera igual a la unidad. Para problemas prácticos específicos en una esfera de radio R, las longitudes medidas de los lados deben dividirse entre R antes de utilizar las identidades que se indican a continuación. Del mismo modo, después de un cálculo en la esfera unitaria, los lados a , b y c deben multiplicarse por R. 

El triángulo polar asociado a un triángulo △ ABC se define de la siguiente manera. Consideremos el círculo máximo que contiene el lado BC . Este círculo máximo se define por la intersección de un plano diametral con la superficie. Trazamos la normal a ese plano en el centro: interseca la superficie en dos puntos y el punto que está en el mismo lado del plano que A se denomina (convencionalmente) polo de A y se denota por A' . Los puntos B' y C' se definen de manera similar. 

El triángulo △ A'B'C' es el triángulo polar correspondiente al triángulo △ ABC . Los ángulos y lados del triángulo polar vienen dados por (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.27).  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$$ Por lo tanto, si se demuestra alguna identidad para el triángulo ABC , podemos derivar inmediatamente una segunda identidad aplicando la primera al triángulo polar mediante las sustituciones anteriores. Así es como se derivan las ecuaciones de coseno suplementarias a partir de las ecuaciones de coseno. De manera similar, las identidades para un triángulo cuadrantal se pueden derivar de las de un triángulo rectángulo. El triángulo polar de un triángulo polar es el triángulo original.

Si la matriz de 3 × 3 M tiene las posiciones A , B y C como sus columnas, entonces las filas de la matriz inversa M ⁻¹ , si se normalizan a longitud unitaria, son las posiciones A′ , B′ y C′ . En particular, cuando △ A′B′C′ es el triángulo polar de △ ABC , entonces △ ABC es el triángulo polar de △ A′B′C′ .

La ley del coseno es la identidad fundamental de la trigonometría esférica: todas las demás identidades, incluida la ley del seno, pueden derivarse de la ley del coseno: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

Estas identidades generalizan la regla del coseno de la trigonometría plana , a la que son asintóticamente equivalentes en el límite de ángulos interiores pequeños. (En la esfera unitaria, si${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$ colocar${\displaystyle \sin a\approx a}$y${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$etc.; véase Ley esférica de los cosenos .)

La ley esférica de los senos viene dada por la fórmula $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$ Estas identidades se aproximan a la regla del seno de la trigonometría plana cuando los lados son mucho más pequeños que el radio de la esfera.

Las fórmulas del coseno esférico fueron demostradas originalmente mediante geometría elemental y la regla del coseno plano (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 37). También ofrece una derivación utilizando geometría de coordenadas simple y la regla del coseno plano (Art. 60). El enfoque aquí descrito utiliza métodos vectoriales más sencillos . (Estos métodos también se analizan en la sección sobre la ley esférica de los cosenos ).

Consideremos tres vectores unitarios OA → , OB → , OC → trazados desde el origen hasta los vértices del triángulo (en la esfera unitaria). El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro y, por lo tanto, OB → · OC → = cos a . Introduzcamos una base cartesiana con OA → a lo largo del eje z y OB → en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC → se proyecta sobre ON en el plano xy y el ángulo entre ON y el eje x es A . Por lo tanto, los tres vectores tienen componentes: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

El producto escalar OB → · OC → en términos de los componentes es $${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$ Igualando las dos expresiones para el producto escalar se obtiene $${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$ Esta ecuación se puede reordenar para obtener expresiones explícitas del ángulo en función de los lados: $${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.}$$

Las demás reglas del coseno se obtienen mediante permutaciones cíclicas.

Esta derivación se da en Todhunter, ^{[ 1 ]} (Art.40). A partir de la identidad${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$y la expresión explícita para cos A dada inmediatamente arriba $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$ Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de a , b y c, la regla del seno esférico se deduce inmediatamente.

Existen muchas maneras de derivar las reglas fundamentales del coseno y el seno, así como las demás reglas desarrolladas en las secciones siguientes. Por ejemplo, Todhunter ^{[ 1 ]} ofrece dos demostraciones de la regla del coseno (artículos 37 y 60) y dos de la regla del seno (artículos 40 y 42). La página sobre la ley esférica de los cosenos ofrece cuatro demostraciones diferentes de la regla del coseno. Los libros de texto sobre geodesia ^{[ 2 ]} y astronomía esférica ^{[ 3 ]} ofrecen distintas demostraciones, y los recursos en línea de MathWorld proporcionan aún más ^{[ 4 ]} . Existen incluso derivaciones más complejas, como la de Banerjee ^{[ 5 ],} quien deriva las fórmulas utilizando el álgebra lineal de matrices de proyección y también cita métodos de geometría diferencial y teoría de grupos de rotaciones.

La derivación de la regla del coseno presentada anteriormente tiene las ventajas de simplicidad y claridad, y la derivación de la regla del seno enfatiza el hecho de que no se requiere una demostración aparte de la regla del coseno. Sin embargo, la geometría anterior puede usarse para dar una demostración independiente de la regla del seno. El triple producto escalar OA → · ( OB → × OC → ) se evalúa como sin b sin c sin A en la base mostrada. De manera similar, en una base orientada con el eje z a lo largo de OB → , el triple producto OB → · ( OC → × OA → ) se evalúa como sin c sin a sin B . Por lo tanto, la invariancia del triple producto bajo permutaciones cíclicas da sin b sin A = sin a sin B , que es la primera de las reglas del seno. Consulte las variaciones curvas de la ley de los senos para ver detalles de esta derivación.

Cuando se conocen tres de los diferenciales da , db , dc , dA , dB , dC , las siguientes ecuaciones, que se obtienen al diferenciar la regla del coseno y usar la regla del seno, se pueden usar para calcular los otros tres por eliminación: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

Aplicando las reglas del coseno al triángulo polar se obtiene (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.47), es decir , reemplazando A por π − a , a por π − A etc., $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

Las seis partes de un triángulo se pueden escribir en orden cíclico como ( aCbAcB ). Las fórmulas de la cotangente, o de cuatro partes, relacionan dos lados y dos ángulos que forman cuatro partes consecutivas alrededor del triángulo, por ejemplo ( aCbA ) o BaCb ). En dicho conjunto hay partes internas y externas: por ejemplo, en el conjunto ( BaCb ) el ángulo interno es C , el lado interno es a , el ángulo externo es B , el lado externo es b . La regla de la cotangente se puede escribir como (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.44). $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$ and the six possible equations are (with the relevant set shown at right): $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$ To prove the first formula start from the first cosine rule and on the right-hand side substitute for cos c from the third cosine rule: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$ The result follows on dividing by sin a sin b. Similar techniques with the other two cosine rules give CT3 and CT5. The other three equations follow by applying rules 1, 3 and 5 to the polar triangle.

With ${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$ and ${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

Another twelve identities follow by cyclic permutation.

Todhunter^[7] (Art 45) derives the half angle formulas for the angles and sides in terms of the sides and angles, respectively. His book is available as an ebook in the public domain from Project Gutenberg. The first equation may be proved by using the law of cosines for side a in terms of sides b and c and angle A, by using the identity ${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$ and by expressing the product of two sines as half the difference of the cosine of their angle difference angle minus the cosine of their angle sum (See sum-to-product identities). In detail: $${\displaystyle {\begin{aligned}2\,\sin(s-b)\,\sin(s-c)&=\cos((s-b)-(s-c))-\cos((s-b)+(s-c))\\&=\cos(c-b)-\cos(a)\\&=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)-(\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)(1-\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)\,{\bigg (}2\,\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {A}{2}}{\bigg )}{\bigg )}\end{aligned}}}$$

The second formula uses the identity ${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$ the third is a quotient and the remainder follow by applying the results to the polar triangle.

The Delambre analogies (also called Gauss analogies) were published independently by Delambre, Gauss, and Mollweide in 1807–1809.^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ Another eight identities follow by cyclic permutation.

Proved by expanding the numerators and using the half angle formulae. (Todhunter,^[1] Art.54 and Delambre^[9])

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

Another eight identities follow by cyclic permutation.

These identities follow by division of the Delambre formulae. (Todhunter,^[1] Art.52)

In particular, the first and second Napier formulas are useful in solving a spherical triangle when three of a b A B are given but not c or C. These two formulas give ${\displaystyle \cot {\tfrac {1}{2}}C}$ in terms of a b A B. This spherical triangle cannot be solved straightforwardly using only the cosine and sine laws.

Taking quotients of these yields the law of tangents, first stated by Persian mathematicianNasir al-Din al-Tusi (1201–1274), $${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

Cuando uno de los ángulos, digamos C , de un triángulo esférico es igual a π /2 , las diversas identidades dadas anteriormente se simplifican considerablemente. Hay diez identidades que relacionan tres elementos elegidos del conjunto a , b , c , A y B.

Napier ^{[ 10 ]} proporcionó una elegante ayuda mnemotécnica para las diez ecuaciones independientes: la mnemotecnia se llama círculo de Napier o pentágono de Napier (cuando el círculo en la figura anterior, a la derecha, se reemplaza por un pentágono).

Primero, escribe las seis partes del triángulo (tres ángulos de vértice, tres ángulos de arco para los lados) en el orden en que aparecen alrededor de cualquier circuito del triángulo: para el triángulo que se muestra arriba a la izquierda, en sentido horario comenzando con a se obtiene aCbAcB . A continuación, reemplaza las partes que no son adyacentes a C (es decir , A , c y B ) por sus complementos y luego elimina el ángulo C de la lista. Las partes restantes se pueden dibujar como cinco rebanadas iguales y ordenadas de un pentagrama o círculo, como se muestra en la figura anterior (derecha). Para cualquier elección de tres partes contiguas, una (la parte central ) será adyacente a dos partes y opuesta a las otras dos. Las diez reglas de Napier se dan por

• seno de la parte central = producto de las tangentes de las partes adyacentes
• seno de la parte central = producto de los cosenos de las partes opuestas

La clave para recordar qué función trigonométrica corresponde a cada parte es observar la primera vocal del tipo de parte: las partes centrales corresponden al seno, las partes adyacentes a la tangente y las partes opuestas al coseno. Por ejemplo, comenzando con el sector que contiene a, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$ El conjunto completo de reglas para el triángulo esférico recto es (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.62) $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

Un triángulo esférico cuadrantal se define como un triángulo esférico en el que uno de sus lados subtiende un ángulo de π /2 radianes en el centro de la esfera: en la esfera unitaria, el lado tiene una longitud de π /2. En el caso de que el lado c tenga una longitud de π /2 en la esfera unitaria, las ecuaciones que rigen los lados y ángulos restantes se pueden obtener aplicando las reglas del triángulo esférico rectángulo de la sección anterior al triángulo polar △ A'B'C' con lados a', b', c' tales que A' = π − a , a' = π − A, etc. Los resultados son: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

Sustituyendo la segunda regla del coseno en la primera y simplificando, obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$ Cancelando el factor de sen c se obtiene $${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

Sustituciones similares en las demás fórmulas del coseno y del coseno suplementario dan lugar a una gran variedad de reglas de 5 partes. Rara vez se utilizan.

Multiplicando la primera regla del coseno por cos A se obtiene $${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$ De manera similar, multiplicando la primera regla del coseno suplementario por cos a se obtiene $${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$ Restando ambos y observando que de las reglas del seno se deduce que${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$ produce la ecuación de Cagnoli $${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$ que es una relación entre las seis partes del triángulo esférico. ^{[ 11 ]}

La resolución de triángulos es el objetivo principal de la trigonometría esférica: dados tres, cuatro o cinco elementos del triángulo, determinar los demás. El caso de cinco elementos dados es trivial, requiriendo solo una aplicación del teorema del seno. Para cuatro elementos dados, existe un caso no trivial, que se analiza más adelante. Para tres elementos dados, existen seis casos: tres lados, dos lados y un ángulo comprendido, dos lados y un ángulo opuesto, dos ángulos y un lado comprendido, dos ángulos y un lado opuesto, o tres ángulos. (El último caso no tiene equivalente en trigonometría plana). La figura siguiente muestra los siete casos no triviales: en cada caso, los lados dados están marcados con una barra transversal y los ángulos dados con un arco. (Los elementos dados también se enumeran debajo del triángulo). En la notación resumida aquí, como ASA, A se refiere a un ángulo dado y S a un lado dado, y la secuencia de A y S en la notación se refiere a la secuencia correspondiente en el triángulo.

• Caso 1: se dan tres lados (LLL). Se puede usar la ley del coseno para calcular los ángulos A , B y C , pero para evitar ambigüedades, se prefieren las fórmulas del ángulo mitad.
• Caso 2: se dan dos lados y un ángulo comprendido (LAL). La ley del coseno da a y entonces volvemos al Caso  1.
• Caso 3: se dan dos lados y un ángulo opuesto (LLA). La ley de los senos da C y luego tenemos el Caso  7. Hay una o dos soluciones.
• Caso 4: se dan dos ángulos y un lado incluido (ALA). Las fórmulas de cotangente de cuatro partes para los conjuntos ( cBaC ) y ( BaCb ) dan c y b , luego A se deduce de la ley del seno.
• Caso 5: se dan dos ángulos y un lado opuesto (AAS). La ley de los senos da b y luego tenemos el Caso  7 (rotado). Hay una o dos soluciones.
• Caso 6: se dan tres ángulos (AAA). Se puede usar la regla del coseno suplementario para obtener los lados a , b y c , pero para evitar ambigüedades, se prefieren las fórmulas de mitad de lado.
• Caso 7: se dan dos ángulos y dos lados opuestos (SSAA). Utilice las analogías de Napier para a y A ; o bien, utilice el caso 3 (SSA) o el caso 5 (AAS).

Los métodos de solución que se enumeran aquí no son las únicas opciones posibles: existen muchas otras. En general, es mejor elegir métodos que eviten el uso del seno inverso debido a la posible ambigüedad entre un ángulo y su suplemento. El uso de fórmulas de semiángulos suele ser recomendable, ya que los semiángulos son menores que π /2 y, por lo tanto, no presentan ambigüedad. En Todhunter se ofrece una explicación completa. El artículo « Solución de triángulos#Resolución de triángulos esféricos» presenta variantes de estos métodos con una notación ligeramente diferente.

En Todhunter se encuentra una discusión completa sobre la solución de triángulos oblicuos. ^{[ 1 ] : Cap. VI} Véase también la discusión en Ross. ^{[ 12 ]} Nasir al-Din al-Tusi fue el primero en enumerar los seis casos distintos (2–7 en el diagrama) de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica. ^{[ 13 ]}

Otro enfoque es dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos. Por ejemplo, tomemos el caso  3 donde se dan b , c y B. Construya el círculo máximo desde A que sea normal al lado BC en el punto D. Use las reglas de Napier para resolver el triángulo △ ABD : use c y B para encontrar los lados AD y BD y el ángulo ∠ BAD . Luego use las reglas de Napier para resolver el triángulo △ ACD : es decir, use AD y b para encontrar el lado DC y los ángulos C y ∠ DAC . El ángulo A y el lado a se obtienen mediante suma.

No todas las reglas obtenidas son numéricamente robustas en casos extremos, por ejemplo, cuando un ángulo se aproxima a cero o a π . Es posible que sea necesario examinar cuidadosamente los problemas y las soluciones, especialmente al escribir código para resolver un triángulo arbitrario. 

El exceso esférico de un cuadrilátero esférico delimitado por el ecuador y los dos meridianos de longitud.${\displaystyle \lambda _{1}}$y ${\displaystyle \lambda _{2},}$y el arco de círculo máximo entre dos puntos con longitud y latitud${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$y${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$es $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

Este resultado se obtiene de una de las analogías de Napier. En el límite donde${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$todos son pequeños, esto se reduce al área trapezoidal familiar,${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$.

El área de un polígono se puede calcular a partir de cuadriláteros individuales del tipo mencionado anteriormente, a partir de triángulos individuales delimitados por un segmento del polígono y dos meridianos ^{[ 17 ]} , mediante una integral de línea con el teorema de Green [ ^{18 ]} o mediante una proyección de áreas iguales ^, como se hace habitualmente en los SIG. Los demás algoritmos también se pueden utilizar con las longitudes de los lados calculadas mediante una fórmula de distancia de círculo máximo .