Identidad de polarización

Si el espacio vectorial está sobre los números reales , entonces las identidades de polarización son: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Estas diversas formas son todas equivalentes según la ley del paralelogramo : ^{[ prueba 1 ]}$${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

Esto implica además que${\displaystyle L^{p}}$La clase no es un espacio de Hilbert siempre que${\displaystyle p\neq 2}$⁠ , ya que no se cumple la ley del paralelogramo. A modo de contraejemplo, consideremos${\displaystyle x=1_{A}}$y${\displaystyle y=1_{B}}$para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos${\displaystyle A,B}$de dominio general${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$y calcular la medida de ambos conjuntos según la ley del paralelogramo.

Para espacios vectoriales sobre los números complejos , las fórmulas anteriores no son del todo correctas porque no describen la parte imaginaria del producto interno (complejo). Sin embargo, una expresión análoga sí garantiza que se conserven tanto la parte real como la imaginaria. La parte compleja del producto interno depende de si es antilineal en el primer o en el segundo argumento. La notación${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$que se usa comúnmente en física se asumirá que es antilineal en el primer argumento, mientras que${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$que se usa comúnmente en matemáticas, se asumirá que es antilineal en su segundo argumento. Están relacionados por la fórmula: $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

La parte real de cualquier producto interno (sin importar qué argumento sea antilineal y sin importar si es real o complejo) es una aplicación bilineal simétrica que para cualquier${\displaystyle x,y\in H}$siempre es igual a: ^{[ 4 ] [ prueba 1 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Siempre es un mapa simétrico , lo que significa que ^{[ prueba 1 ]}$${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ y también satisface: ^{[ prueba 1 ]}$${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ lo cual en lenguaje sencillo dice que mover un factor de${\displaystyle i}$En el otro argumento, introduzca un signo negativo. Estas propiedades pueden demostrarse directamente a partir de las propiedades de los productos internos o a partir de las propiedades de las normas mediante la identidad de polarización.

A diferencia de su parte real, la parte imaginaria de un producto interno complejo depende de cuál argumento sea antilineal.

Antilineal en el primer argumento

Las identidades de polarización para el producto interno${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$que es antilineal en el primer argumento, son

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\|x+(-i)^{k}y\|^{2}\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

dónde${\displaystyle x,y\in H.}$ La penúltima igualdad es similar a la fórmula que expresa una función lineal.${\displaystyle \varphi }$en términos de su parte real:${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

Antilineal en el segundo argumento

Las identidades de polarización para el producto interno${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$que es antilineal en el segundo argumento, se deduce de la de${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$por la relación: ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle$ :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ para todos }}x,y\in H.} Entonces, para cualquier${\displaystyle x,y\in H,}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

Esta expresión puede formularse simétricamente como: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

Resumen de ambos casos

Por lo tanto, si${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$denota las partes real e imaginaria del valor de algún producto interno en el punto${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$de su dominio, entonces su parte imaginaria será: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$ donde el escalar${\displaystyle i}$siempre se encuentra en el mismo argumento en el que el producto interno es antilineal.

Usando​${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$⁠ , la fórmula anterior para la parte imaginaria se convierte en: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

Si${\displaystyle A:H\to Z}$es una isometría lineal entre dos espacios de Hilbert (por lo tanto${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$a pesar de${\displaystyle h\in H}$) entonces $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$ Es decir, las isometrías lineales preservan los productos escalares.

Si${\displaystyle A:H\to Z}$es en cambio una isometría antilineal entonces $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Esto es esencialmente una forma vectorial de la ley de los cosenos para el triángulo formado por los vectores .${\displaystyle {\textbf {u}}}$,​​${\displaystyle {\textbf {v}}}$y​​${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$⁠ . En particular, $${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre los vectores${\displaystyle {\textbf {u}}}$y​${\displaystyle {\textbf {v}}}$.​

La ecuación es numéricamente inestable si u y v son similares debido a la cancelación catastrófica y debe evitarse para el cálculo numérico.

La relación básica entre la norma y el producto escalar viene dada por la ecuación $${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$ y de manera similar $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Las formas (1) y (2) de la identidad de polarización se obtienen ahora resolviendo estas ecuaciones para ⁠${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}}$⁠ , mientras que la forma (3) se obtiene restando estas dos ecuaciones. (Al sumar estas dos ecuaciones se obtiene la ley del paralelogramo).

El teorema estándar de Jordan - von Neumann , como se mencionó anteriormente, establece que si una norma satisface la ley del paralelogramo, entonces puede ser inducida por un producto interno definido por la identidad de polarización. Existen variantes del teorema. ^{[ 7 ]}

Defina los distintos sentidos de ortogonalidad:

• isósceles:${\textstyle \|x+y\|=\|x-y\|}$
• Roberts:${\textstyle \left\|x+ty\right\|=\left\|x-ty\right\|}$para todos los escalares${\textstyle t}$.
• Pitagórico:${\textstyle \left\|x+y\right\|^{2}=\|x\|^{2}+\left\|y\right\|^{2}}$
• Birkhoff–James:${\textstyle \|x\|\leq \|x+ty\|}$para todos los escalares${\textstyle t}$.

Dejar${\textstyle V}$Sea un espacio vectorial sobre los números reales o complejos.${\textstyle \|\cdot \|}$ser una norma sobre${\textstyle V}$. Consideramos condiciones para las cuales la norma es inducida por un producto interno. En las siguientes afirmaciones, siempre que aparezca un escalar, este puede restringirse a ser simplemente real, incluso cuando${\textstyle V}$está sobre los números complejos.

• (Condición de von Neumann-Jordan) La norma satisface la identidad del paralelogramo.
• (afección de von Neumann-Jordan debilitada)${\textstyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=4}$para todos los vectores unitarios${\textstyle x,y}$. Es decir, la norma satisface la identidad del paralelogramo para vectores unitarios.
• Para cualquier${\textstyle x,y\in V}$, el conjunto de puntos equidistantes a${\textstyle x,y}$es plano, es decir, un subespacio afín.
• La ortogonalidad, ya sea en el sentido isósceles o en el de Roberts, es aditiva u homogénea en una variable.
• Para cada subespacio bidimensional${\textstyle W\subset V}$, por cada${\textstyle x\in W}$, existe${\textstyle y\in W}$que es ortogonal a Roberts${\textstyle x}$.
• La ortogonalidad isósceles implica la ortogonalidad pitagórica.
• La ortogonalidad pitagórica implica ortogonalidad isósceles.
• Si${\textstyle x,y}$son ortogonales pitagóricos, entonces también lo son${\textstyle x,-y}$.
• La ortogonalidad de Birkhoff-James es simétrica.
• Si${\textstyle \|x\|=\|y\|}$y${\textstyle t,s}$son reales, entonces${\textstyle \|tx+sy\|=\|sx+ty\|}$.

Para el espacio vectorial real, también existe la condición:

• Cualquier sección bidimensional de la esfera unitaria es una elipse, es decir, parametrizable como${\textstyle \{x\cos \theta +y\sin \theta$ :\theta \in [0,2\pi ]\}} , para algunos vectores unitarios${\textstyle x,y}$.

El problema de rotación de Banach-Mazur: Dado un espacio de Banach separable${\textstyle V}$de tal manera que para cualesquiera dos vectores unitarios${\textstyle x,y,}$existe una isometría lineal sobreyectiva${\textstyle T}$de tal manera que${\textstyle T(x)=y}$o${\textstyle T(y)=x}$, es${\textstyle V}$¿Isométricamente isomorfo a un espacio de Hilbert?

El caso general del problema está abierto . Cuando el espacio es de dimensión finita, la respuesta es sí. En otras palabras, dado un espacio vectorial normado de dimensión finita sobre los números reales o complejos, si cualquier punto de la esfera unitaria puede transformarse (rotarse) en cualquier otro punto mediante una isometría lineal, entonces la norma está inducida por un producto interno. ^{[ 8 ]}

Las identidades de polarización no se limitan a los productos internos. Si${\displaystyle B}$es cualquier forma bilineal simétrica en un espacio vectorial, y${\displaystyle Q}$es la forma cuadrática definida por $${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$ entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

El llamado mapa de simetrización generaliza la fórmula anterior, reemplazando${\displaystyle Q}$por un polinomio homogéneo de grado${\displaystyle k}$definido por${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$dónde${\displaystyle B}$es simétrico${\displaystyle k}$-mapa lineal. ^{[ 9 ]}

Las fórmulas anteriores se aplican incluso cuando el campo de escalares tiene característica dos, aunque en este caso los segundos miembros son todos cero. Por consiguiente, en característica dos no existe una fórmula para una forma bilineal simétrica en términos de una forma cuadrática, y de hecho son conceptos distintos, lo cual tiene importantes consecuencias en la teoría L ; por brevedad, en este contexto las "formas bilineales simétricas" se denominan a menudo "formas simétricas".

Estas fórmulas también se aplican a formas bilineales en módulos sobre un anillo conmutativo , aunque nuevamente solo se puede resolver para${\displaystyle B(u,v)}$Si 2 es invertible en el anillo, y de lo contrario, son nociones distintas. Por ejemplo, sobre los enteros, se distinguen las formas cuadráticas integrales de las formas simétricas integrales , que constituyen una noción más restringida.

De manera más general, en presencia de una involución de anillo o donde 2 no es invertible, se distingue${\displaystyle \varepsilon }$-formas cuadráticas y${\displaystyle \varepsilon }$-formas simétricas ; una forma simétrica define una forma cuadrática, y la identidad de polarización (sin un factor de 2) de una forma cuadrática a una forma simétrica se llama " mapa de simetrización ", y en general no es un isomorfismo. Históricamente, esta ha sido una distinción sutil: sobre los enteros no fue hasta la década de 1950 que se entendió la relación entre "dos fuera" ( forma cuadrática integral) y "dos dentro" (forma simétrica integral ) – ver discusión en forma cuadrática integral ; y en la algebrización de la teoría de la cirugía , Mishchenko originalmente usó L -grupos simétricos , en lugar de los L -grupos cuadráticos correctos (como en Wall y Ranicki) – ver discusión en L-teoría .

Finalmente, en cualquiera de estos contextos, estas identidades pueden extenderse a polinomios homogéneos (es decir, formas algebraicas ) de grado arbitrario , donde se conoce como la fórmula de polarización , y se revisa con mayor detalle en el artículo sobre la polarización de una forma algebraica .