Diagrama de polos y ceros

En matemáticas , procesamiento de señales y teoría de control , un diagrama de polos y ceros es una representación gráfica de una función de transferencia racional en el plano complejo que ayuda a transmitir ciertas propiedades del sistema, tales como:

Un diagrama de polos y ceros muestra la ubicación en el plano complejo de los polos y ceros de la función de transferencia de un sistema dinámico , como un controlador, compensador, sensor, ecualizador, filtro o canal de comunicaciones. Por convención, los polos del sistema se indican en el diagrama con una X, mientras que los ceros se indican con un círculo o una O.

Un diagrama de polos y ceros se traza en el plano de un dominio de frecuencia compleja , que puede representar un sistema de tiempo continuo o de tiempo discreto:

Los sistemas de tiempo continuo utilizan la transformada de Laplace y se representan en el plano s : $s=\sigma +j\omega$ $s=\sigma +j\omega$
- Los componentes de frecuencia reales se encuentran a lo largo de su eje vertical (la línea imaginaria). $s{=}j\omega$ dónde $\sigma {=}0$ )
Los sistemas de tiempo discreto utilizan la transformada Z y se representan en el plano z : $z=Ae^{j\phi }$ $z=Ae^{j\phi }$
- Los componentes de frecuencia reales se encuentran a lo largo de su círculo unitario.

Sistemas de tiempo continuo

En general, una función de transferencia racional para un sistema LTI de tiempo continuo tiene la forma:

$H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}$

dónde

$B$ y $A$ son polinomios en $s$ ,
$M$ es el orden del polinomio numerador,
$b_{m}$ es el $m$ ^{coeficiente n} del polinomio numerador,
$N$ es el orden del polinomio del denominador, y
$a_{n}$ es el $n$ ^{coeficiente n-ésimo} del polinomio denominador.

Cualquiera $M$ o $N$ o ambos pueden ser cero, pero en sistemas reales, debería ser el caso que $M\leq N$ De lo contrario, la ganancia sería ilimitada a altas frecuencias.

Polos y ceros

Los ceros del sistema son raíces del polinomio numerador: $s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}$ de tal manera que $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$
Los polos del sistema son las raíces del polinomio denominador: $s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}$ de tal manera que $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.$

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) para una función de transferencia continua dada es un semiplano o una franja vertical, ninguno de los cuales contiene polos. En general, la ROC no es única, y la ROC particular en cada caso depende de si el sistema es causal o anticausal.

Si la ROC incluye el eje imaginario , entonces el sistema es estable en el sentido de entrada limitada, salida limitada (BIBO) .
Si la región de convergencia se extiende hacia la derecha desde el polo con la mayor parte real (pero no en el infinito), entonces el sistema es causal.
Si la región de convergencia se extiende hacia la izquierda desde el polo con la parte real más pequeña (pero no en el infinito negativo), entonces el sistema es anticausal.

La región de convergencia (ROC) se suele elegir para que incluya el eje imaginario, ya que es importante para la mayoría de los sistemas prácticos tener estabilidad BIBO .

Ejemplo

$H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}$

Este sistema no tiene ceros (finitos) y tiene dos polos: $s=\alpha _{1}=-3+4j$ y $s=\alpha _{2}=-3-4j$

El diagrama de polos y ceros sería:

Gráfico Pz del ejemplo creado previamente

Nótese que estos dos polos son conjugados complejos , lo cual es la condición necesaria y suficiente para tener coeficientes de valor real en la ecuación diferencial que representa el sistema.

Sistemas de tiempo discreto

En general, una función de transferencia racional para un sistema LTI de tiempo discreto tiene la forma:

$H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}$

dónde

$M$ es el orden del polinomio numerador,
$b_{m}$ es el $m$ ^{coeficiente n} del polinomio numerador,
$N$ es el orden del polinomio del denominador, y
$a_{n}$ es el $n$ ^{coeficiente n-ésimo} del polinomio denominador.

Cualquiera $M$ o $N$ o ambos pueden ser cero.

Polos y ceros

$z=\beta _{m}$ de tal manera que $P(z)|_{z=\beta _ {m}}=0$ son los ceros del sistema
$z=\alpha _{n}$ de tal manera que $Q(z)|_{z=\alpha _ {n}}=0$ son los polos del sistema.

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) para una función de transferencia discreta dada es un disco o anillo que no contiene polos no cancelados. En general, la ROC no es única, y la ROC particular en cada caso depende de si el sistema es causal o anticausal.

Si la ROC incluye el círculo unitario , entonces el sistema es estable en el sentido de entrada limitada, salida limitada (BIBO) .
Si la región de convergencia (ROC) se extiende hacia afuera desde el polo de mayor magnitud (pero no infinita), entonces el sistema tiene una respuesta impulsional unilateral derecha. Si la ROC se extiende hacia afuera desde el polo de mayor magnitud y no existe un polo en el infinito, entonces el sistema es causal.
Si la región de convergencia se extiende hacia el interior desde el polo con la magnitud más pequeña (distinta de cero), entonces el sistema es anticausal.

La región de convergencia (ROC) suele elegirse para incluir el círculo unitario, ya que es importante para la mayoría de los sistemas prácticos tener estabilidad BIBO .

Ejemplo

Si $P(z)$ y $Q(z)$ Una vez factorizadas por completo, su solución se puede representar fácilmente en el plano z . Por ejemplo, dada la siguiente función de transferencia: $H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}$

El único cero (finito) se encuentra en: $z=-2$ y los dos postes están ubicados en: $z=\pm {\frac {j}{2}}$ , dónde $j$ es la unidad imaginaria .

El diagrama de polos y ceros sería:

Véase también

Bibliografía

Haag, Michael (22 de junio de 2005). "Comprensión de diagramas de polos y ceros en el plano Z" . OpenStax CNX . Archivado del original el 12 de junio de 2018. Recuperado el 9 de junio de 2018 .
Eric W. Weisstein . "Transformación Z" . MathWorld . Consultado el 24 de enero de 2010 .