Número polidivisible

En matemáticas, un número polidivisible (o número mágico ) es un número en una base numérica dada con dígitos abcde... que tiene las siguientes propiedades: ^[1]

1. Su primer dígito a no es 0.
2. El número formado por sus dos primeros dígitos ab es múltiplo de 2.
3. El número formado por sus tres primeros dígitos abc es múltiplo de 3.
4. El número formado por sus cuatro primeros dígitos abcd es múltiplo de 4.
5. etc.

Sea un entero positivo y sea el número de dígitos de n escrito en base b . El número n es un número polidivisible si para todo , ${\estilo de visualización n}$${\displaystyle k=\lpiso \log _{b}{n}\rpiso +1}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{b^{ki}}}\right\rfloor \equiv 0{\pmod {i}}}$.

Ejemplo

Por ejemplo, 10801 es un número polidivisible de siete dígitos en base 4 , como

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4096}}\right\rfloor =2\equiv 0{\pmod {1}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-2}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1024}}\right\rfloor =10\equiv 0{\pmod {2}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-3}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{256}}\right\rfloor =42\equiv 0{\pmod {3}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-4}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{64}}\right\rfloor =168\equiv 0{\pmod {4}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-5}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{16}}\right\rfloor =675\equiv 0{\pmod {5}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-6}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4}}\right\rfloor =2700\equiv 0{\pmod {6}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-7}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1}}\right\rfloor =10801\equiv 0{\pmod {7}}.}$

Para cualquier base dada , sólo hay un número finito de números polidivisibles. ${\estilo de visualización b}$

La siguiente tabla enumera los números polidivisibles máximos para algunas bases b , donde A−Z representan los valores de los dígitos del 10 al 35.

Sea el número de dígitos. La función determina el número de números polidivisibles que tienen dígitos en base , y la función es el número total de números polidivisibles en base . ${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización F_{b}(n)}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle \Sigma (b)}$${\estilo de visualización b}$

Si es un número polidivisible en base a dígitos, entonces puede extenderse para crear un número polidivisible con dígitos si hay un número entre y que sea divisible por . Si es menor o igual a , entonces siempre es posible extender un número polidivisible de dígitos a un número polidivisible de dígitos de esta manera, y de hecho puede haber más de una extensión posible. Si es mayor que , no siempre es posible extender un número polidivisible de esta manera, y a medida que se hace más grande, las posibilidades de poder extender un número polidivisible dado se hacen más pequeñas. En promedio, cada número polidivisible con dígitos puede extenderse a un número polidivisible con dígitos de diferentes maneras. Esto lleva a la siguiente estimación para : ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle bk}$${\displaystyle b(k+1)-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {b}{n}}}$${\displaystyle F_{b}(n)}$

${\displaystyle F_{b}(n)\approx (b-1){\frac {b^{n-1}}{n!}}.}$

Sumando todos los valores de n, esta estimación sugiere que el número total de números polidivisibles será aproximadamente

${\displaystyle \Sigma (b)\approx {\frac {b-1}{b}}(e^{b}-1)}$

Todos los números se representan en base , utilizando A−Z para representar los valores de los dígitos del 10 al 35. ${\displaystyle b}$

Los números polidivisibles en base 5 son

1, 2, 3, 4, 11, 13, 20, 22, 24, 31, 33, 40, 42, 44, 110, 113, 132, 201, 204, 220, 223, 242, 311, 314, 330, 333, 402, 421, 424, 440, 443, 1102, 1133, 1322, 2011, 2042, 2200, 2204, 2231, 2420, 2424, 3113, 3140, 3144, 3302, 3333, 22, 4211, 4242, 4400, 4404, 4431, 11020, 11330, 13220, 20110, 20420, 22000, 22040, 22310, 24200, 24240, 31130, 31400, 31440, 33020, 33330, 40220, 42110, 42420, 44000, 44040, 44310, 110204, 113300, 132204, 201102, 204204, 220000, 220402, 223102, 242000, 242402, 311300, 314000, 314402, 330204, 333300, 402204, 421102, 424204, 440000, 440402, 443102, 1133000, 1322043, 2042040, 2204020, 2420003, 2424024, 3113002, 3140000, 3144021, 4022042, 4211020, 4431024, 11330000, 13220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314, 201102110, 242000311, 314000044, 0, 443102421, 1322043140, 2011021100, 3140000440, 4022042200

Los números polidivisibles de base 5 más pequeños con n dígitos son

1, 11, 110, 1102, 11020, 110204, 1133000, 11330000, 132204314, 1322043140, ninguno...

Los números polidivisibles de base 5 más grandes con n dígitos son

4, 44, 443, 4431, 44310, 443102, 4431024, 44310242, 443102421, 4022042200, ninguno...

El número de números polidivisibles de base 5 con n dígitos son

4, 10, 17, 21, 21, 21, 13, 10, 6, 4, 0, 0, 0...

Los números polidivisibles en base 10 son

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189, 201, 204, 207, 222, 225, 228, 243, 246, 249, 261, 264, 267, 282, 285, 288. .. (secuencia A144688 en la OEIS )

Los números polidivisibles de base 10 más pequeños con n dígitos son

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640, 10200056405, 102006162060, 1020061620604, 616206046, 102006162060465, 1020061620604656, 10200616206046568, 108054801036000018, 1080548010360000180, 10805480103600001800, ... (secuencia A214437 en la OEIS )

Los números polidivisibles de base 10 más grandes con n dígitos son

9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876545, 98765456, 987654564, 9876545640, 98765456405, 987606963096, 9876069630960, 696309604, 987606963096045, 9876062430364208, 98485872309636009, 984450645096105672, 9812523240364656789, 96685896604836004260, ... (secuencia A225608 en la OEIS )

El número de números polidivisibles de base 10 con n dígitos son

9, 45, 150, 375, 750, 1200, 1713, 2227, 2492, 2492, 2225, 2041, 1575, 1132, 770, 571, 335, 180, 90, 44, 18, 12, 6, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... (secuencia A143671 en la OEIS )

El siguiente ejemplo busca números polidivisibles en Python .

def  find_polydivisible ( base :  int )  ->  list [ int ] : 
"""Encontrar número polidivisible.""" números = [] anterior = [ i para i en rango ( 1 , base )] nuevo = [] dígitos = 2 mientras que no anterior == [] : números.append ( anterior ) para n en anterior : para j en rango ( 0 , base ) : número = n * base + j si número % dígitos == 0 : nuevo.append ( número ) anterior = nuevo nuevo = [ ] dígitos = dígitos + 1 devolver números    
      
           
      
      
        
        
           
                
                      
                     
                    
          
          
            
     

Los números polidivisibles representan una generalización del siguiente problema bien conocido ^{[2] en} matemáticas recreativas :

Ordena los dígitos del 1 al 9 de manera que los dos primeros dígitos formen un múltiplo de 2, los tres primeros dígitos formen un múltiplo de 3, los cuatro primeros dígitos formen un múltiplo de 4, etc. y, finalmente, el número entero sea un múltiplo de 9.

La solución del problema es un número polidivisible de nueve dígitos con la condición adicional de que contenga los dígitos del 1 al 9 exactamente una vez cada uno. Hay 2.492 números polidivisibles de nueve dígitos, pero el único que satisface la condición adicional es

381 654 729 ^[6]

Otros problemas que involucran números polidivisibles incluyen:

• Encontrar números polidivisibles con restricciones adicionales en los dígitos: por ejemplo, el número polidivisible más largo que solo utiliza dígitos pares es

48 000 688 208 466 084 040

• Encontrar números palindrómicos polidivisibles: por ejemplo, el número palindrómico polidivisible más largo es

30 000 600 003

• Una extensión común y trivial del ejemplo mencionado anteriormente es organizar los dígitos del 0 al 9 para formar un número de 10 dígitos de la misma manera, el resultado es 3816547290. Este es un número polidivisible pandigital .

• YouTube, un número pandigital que también es polidivisible