Polígono

En geometría , un polígono ( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) es una figura plana formada por segmentos de línea conectados para formar una cadena poligonal cerrada .

Los segmentos de una cadena poligonal cerrada se denominan aristas o lados . Los puntos donde se unen dos aristas son los vértices o esquinas del polígono . Un n -gono es un polígono con n lados; por ejemplo, un triángulo es un 3-gono.

Un polígono simple es aquel que no se interseca a sí mismo. Más precisamente, las únicas intersecciones permitidas entre los segmentos de línea que lo componen son los extremos comunes de segmentos consecutivos en la cadena poligonal. Un polígono simple es el límite de una región del plano llamada polígono sólido . El interior de un polígono sólido es su cuerpo , también conocido como región poligonal o área poligonal . En contextos donde solo se consideran polígonos simples y sólidos, el término "polígono" puede referirse únicamente a un polígono simple o a un polígono sólido.

Una cadena poligonal puede cruzarse consigo misma, creando polígonos estrellados y otros polígonos que se autointersecan . Algunas fuentes también consideran que las cadenas poligonales cerradas en el espacio euclidiano son un tipo de polígono (un polígono sesgado ), incluso cuando la cadena no se encuentra en un solo plano.

Un polígono es un ejemplo bidimensional del politopo , un concepto más general que puede tener cualquier número de dimensiones. Existen muchas más generalizaciones de polígonos definidas para diferentes propósitos.

Etimología

La palabra polígono deriva del adjetivo griego πολύς ( polús ) 'mucho' / 'muchos' y γωνία ( gōnía ) 'esquina' o 'ángulo', por lo tanto 'que tiene múltiples ángulos'. Se ha sugerido que γόνυ ( gónu ) 'rodilla' podría ser el origen de gon . ^{[ 1 ]}

Clasificación

Número de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados.

Convexidad e intersección

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o por el tipo de no convexidad que presentan:

Convexo : cualquier línea trazada a través del polígono (y que no sea tangente a un borde o esquina) pasa por su límite exactamente dos veces. En consecuencia, todos sus ángulos interiores son menores de 180°. De forma equivalente, cualquier segmento de línea con extremos en el límite pasa solo por puntos interiores entre sus extremos. Esta condición se cumple para polígonos de cualquier geometría, no solo euclidiana. ^{[ 2 ]}
No convexa: puede existir una línea que intersecta su límite más de dos veces. De forma equivalente, existe un segmento de línea entre dos puntos límite que pasa fuera del polígono.
Simple : el límite del polígono no se cruza a sí mismo. Todos los polígonos convexos son simples.
Cóncava : No convexa y simple. Tiene al menos un ángulo interior mayor de 180°.
Con forma de estrella : todo el interior es visible desde al menos un punto, sin cruzar ningún borde. El polígono debe ser simple y puede ser convexo o cóncavo. Todos los polígonos convexos tienen forma de estrella.
Autointersecante : el límite del polígono se cruza a sí mismo. El término complejo se usa a veces en contraposición a simple , pero este uso puede generar confusión con la idea de un polígono complejo como aquel que existe en el plano de Hilbert complejo y consta de dos dimensiones complejas .
Polígono estrellado : un polígono que se autointerseca de forma regular. Un polígono no puede ser a la vez estrellado y tener forma de estrella.

Igualdad y simetría

Equiangular : todos los ángulos de las esquinas son iguales.
Equilátero : todos los lados tienen la misma longitud.
Regular : equilátero y equiangular.
Cíclico : todos los vértices se encuentran en un único círculo , llamado círculo circunscrito .
Tangencial : todos los lados son tangentes a un círculo inscrito .
Isogonal o transitivo por vértices : todos los vértices se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es cíclico y equiangular.
Isotoxal o transitivo por los bordes : todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono es además equilátero y tangente.

La propiedad de regularidad puede definirse de otras maneras: un polígono es regular si y solo si es isogonal e isotoxal, o equivalentemente, si es cíclico y equilátero. Un polígono regular no convexo se denomina polígono estrellado regular .

Misceláneas

Rectilíneo : los lados del polígono se unen en ángulo recto, es decir, todos sus ángulos interiores son de 90 o 270 grados.
Monótona con respecto a una línea L dada : toda línea ortogonal a L interseca el polígono no más de dos veces.

Propiedades y fórmulas

Se asume la geometría euclidiana en todo momento.

Anglos

Todo polígono tiene tantos vértices como lados. Cada vértice tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:

Ángulo interior : La suma de los ángulos interiores de un n -gono simple es ( n − 2) × π radianes o ( n − 2) × 180 grados . Esto se debe a que cualquier n -gono simple (que tiene n lados) puede considerarse formado por ( n − 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de ángulos de π radianes o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un n -gono regular convexo es $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ radianes o $180-{\tfrac {360}{n}}$ grados. Los ángulos interiores de los polígonos estrellados regulares fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo artículo en el que describe los cuatro poliedros estrellados regulares : para un polígono estrellado regular ${\tfrac {p}{q}}$ -gono (un p -gono con densidad central q ), cada ángulo interior es ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ radianes o ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ grados. ^{[ 3 ]}
Ángulo exterior : El ángulo exterior es el ángulo suplementario al ángulo interior. Al trazar alrededor de un n -gono convexo, el ángulo "girado" en una esquina es el ángulo exterior o externo. Trazar todo el polígono da una vuelta completa , por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360°. Este argumento se puede generalizar a polígonos simples cóncavos, si se restan los ángulos externos que giran en la dirección opuesta del total girado. Al trazar alrededor de un n -gono en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total que se gira en los vértices) puede ser cualquier múltiplo entero d de 360°, por ejemplo, 720° para un pentagrama y 0° para un "ocho" angular o antiparalelogramo , donde d es la densidad o número de giros del polígono.

Área

En esta sección, los vértices del polígono en consideración se toman como $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ en orden. Para mayor comodidad en algunas fórmulas, también se utilizará la notación $(x n, y n) = (x 0, y 0) .$

Polígonos simples

Si el polígono no se autointerseca (es decir, es simple ), el área con signo es

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},

o, utilizando determinantes

16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},

dónde $Q_{i,j}$ es la distancia al cuadrado entre $(x_{i},y_{i})$ y $(x_{j},y_{j}).$ ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

El área con signo depende del orden de los vértices y de la orientación del plano. Generalmente, la orientación positiva se define por la rotación (en sentido antihorario) que transforma el eje $x positivo en el eje$ $y$ positivo . Si los vértices están ordenados en sentido antihorario (es decir, según la orientación positiva), el área con signo es positiva; de lo contrario, es negativa. En ambos casos, la fórmula del área es correcta en valor absoluto . Esta fórmula se conoce comúnmente como fórmula del cordón o fórmula del agrimensor . ^{[ 6 ]}

El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a ₁ , a ₂ , ..., a _n y los ángulos exteriores , θ ₁ , θ ₂ , ..., θ _{n , a partir de:}

{\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}

La fórmula fue descrita por Lopsits en 1963. ^{[ 7 ]}

Si el polígono se puede dibujar sobre una cuadrícula con puntos igualmente espaciados, de manera que todos sus vértices sean puntos de la cuadrícula, el teorema de Pick proporciona una fórmula sencilla para el área del polígono basada en el número de puntos de la cuadrícula interiores y de los límites: el primer número más la mitad del segundo, menos 1.

En todo polígono con perímetro p y área A , la desigualdad isoperimétrica $p^{2}>4\pi A$ sostiene. ^{[ 8 ]}

Según el teorema de Bolyai-Gerwien , para dos polígonos simples de igual área, el primero se puede dividir en piezas poligonales que se pueden volver a unir para formar el segundo polígono.

En general, la longitud de los lados de un polígono no determina su área. ^{[ 9 ]} Sin embargo, si el polígono es simple y cíclico, entonces los lados sí determinan el área. ^{[ 10 ]} De todos los n -gonos con longitudes de lado dadas, el que tiene la mayor área es cíclico. De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene la mayor área es regular (y por lo tanto cíclico). ^{[ 11 ]}

Polígonos regulares

Existen muchas fórmulas especializadas que se aplican a las áreas de polígonos regulares .

El área de un polígono regular se expresa en función del radio r de su círculo inscrito y su perímetro p mediante la fórmula:

A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.

Este radio también se denomina su apotema y a menudo se representa como un .

El área de un n -gono regular se puede expresar en términos del radio R de su círculo circunscrito (el único círculo que pasa por todos los vértices del n -gono regular) de la siguiente manera: ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}

Autointersecante

El área de un polígono que se autointerseca se puede definir de dos maneras diferentes, dando resultados diferentes:

Utilizando las fórmulas para polígonos simples, permitimos que ciertas regiones dentro del polígono tengan su área multiplicada por un factor que denominamos densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene una densidad de 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero cruzado (como un ocho) tienen densidades de signo opuesto, y la suma de sus áreas puede dar como resultado un área total de cero para toda la figura. ^{[ 14 ]}
Considerando las regiones encerradas como conjuntos de puntos, podemos hallar el área de dicho conjunto. Esta área corresponde al área del plano cubierto por el polígono o al área de uno o más polígonos simples con el mismo contorno que el que se autointerseca. En el caso del cuadrilátero cruzado, se trata como dos triángulos simples.

centroide

Utilizando la misma convención para las coordenadas de los vértices que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono simple sólido son:

C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),

C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).

En estas fórmulas, el valor con signo del área $A$ debe utilizarse.

Para triángulos ( $n = 3$ ), los centroides de los vértices y de la figura sólida son iguales, pero, en general, esto no es cierto para $n > 3.$ El centroide del conjunto de vértices de un polígono con $n$ vértices tiene las coordenadas

c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},

c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.

Generalizaciones

La idea de un polígono se ha generalizado de diversas maneras. Algunas de las más importantes incluyen:

Un polígono esférico es un circuito formado por arcos de círculos máximos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite la existencia del digon , un polígono con solo dos lados y dos vértices, lo cual es imposible en un plano. Los polígonos esféricos desempeñan un papel importante en la cartografía (elaboración de mapas) y en la construcción de los poliedros uniformes de Wythoff .
Un polígono sesgado no se encuentra en un plano, sino que describe un zigzag en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
Un apeirogon es una secuencia infinita de lados y ángulos que no es cerrada pero que no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
Un apeirogon sesgado es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano horizontal.
Un polígono con agujeros es un polígono plano, conexo por área o múltiplemente conexo, con un límite externo y uno o más límites internos (agujeros).
Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias .
Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los distintos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Un polígono geométrico real se considera una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo de la correspondencia, todas las generalizaciones aquí descritas pueden realizarse.
Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogo a un polígono en dos dimensiones. Las figuras correspondientes en cuatro o más dimensiones se denominan politopos . ^{[ 15 ]} (En otras convenciones, los términos poliedro y politopo se utilizan en cualquier dimensión, con la distinción entre ambos de que un politopo está necesariamente delimitado. ^{[ 16 ]} )

Nomenclatura

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), sustantivo neutro de πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , adjetivo masculino), que significa "de muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y a veces se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico de origen griego con el sufijo -gon , por ejemplo, pentágono , dodecágono . El triángulo , el cuadrilátero y el nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (de 10 lados) y los dodecágonos (de 12 lados), los matemáticos generalmente utilizan notación numérica, por ejemplo, 17-gono y 257-gono. ^{[ 17 ]}

Existen excepciones para los recuentos de lados que se pueden expresar fácilmente de forma verbal (por ejemplo, 20 y 30), o que son utilizados por personas que no son matemáticas. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono estrellado regular también se conoce como pentagrama .

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. ^{[ 21 ]} El término "kai" se aplica a polígonos de 13 lados o más y fue utilizado por Kepler y defendido por John H. Conway para mayor claridad de los números de prefijo concatenados en la denominación de poliedros cuasirregulares , ^{[ 25 ]} aunque no todas las fuentes lo utilizan.

Historia

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los antiguos griegos conocían los polígonos regulares ; el pentagrama , un polígono regular no convexo ( polígono estrellado ), aparece ya en el siglo VII a. C. en un cráter de Aristófanes , hallado en Caere y que actualmente se conserva en el Museo Capitolino . ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}

El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV. ^{[ 42 ]}

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria , para crear polígonos complejos . ^{[ 43 ]}

En la naturaleza

Los polígonos aparecen en las formaciones rocosas, generalmente como las caras planas de los cristales , donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden aparecer cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto muy compactas , como se puede observar en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte o en el Devil's Postpile en California .

En biología , la superficie del panal de cera que fabrican las abejas es una matriz de hexágonos , y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos por computadora

En gráficos por computadora , un polígono es una primitiva utilizada en el modelado y la renderización. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos , así como otros atributos del polígono, como color, sombreado y textura), información de conectividad y materiales . ^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}

Cualquier superficie se modela como una teselación llamada malla poligonal . Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n cuadrados en la malla, o 2n triángulos cuadrados ^, ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay ( n + 1) ^² / 2( n² ) vértices por triángulo. Cuando n es grande, esto se aproxima a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro aristas (líneas).

El sistema de imagen recupera de la base de datos la estructura de polígonos necesaria para crear la escena. Esta se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que la escena pueda visualizarse. Durante este proceso, el sistema de imagen renderiza los polígonos con la perspectiva correcta, preparándolos para la transmisión de los datos procesados al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, el ordenador del sistema los coloca en la escena visual con la orientación tridimensional correcta.

En gráficos por computadora y geometría computacional , a menudo es necesario determinar si un punto dado $P=(x_{0},y_{0})$ se encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se denomina prueba del punto en el polígono . ^{[ 46 ]}

Véase también

Referencias

Bibliografía

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Enlaces externos

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Polígonos, tipos de polígonos y propiedades de los polígonos , con animación interactiva.
Cómo dibujar polígonos ortogonales monocromos en pantallas , por Herbert Glarner
Algoritmos de gráficos computacionales: Preguntas frecuentes , soluciones a problemas matemáticos de cálculo de polígonos 2D y 3D.
Comparación de los diferentes algoritmos para operaciones booleanas con polígonos : se comparan sus capacidades, velocidad y robustez numérica.
Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general . Proporciona una investigación interactiva en Java que extiende la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).

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