Número poligonal

En matemáticas , un número poligonal es un número que cuenta puntos dispuestos en forma de polígono regular . ^{[ 1 ] : 2-3} Estos son un tipo de números figurados bidimensionales .

Los números poligonales fueron estudiados por primera vez durante el siglo VI a. C. por los antiguos griegos, quienes investigaron y discutieron las propiedades de los números oblongos , triangulares y cuadrados . ^{[ 1 ] : 1}

El número 10, por ejemplo, se puede organizar como un triángulo (véase número triangular ):

Pero el 10 no se puede ordenar como un cuadrado . El número 9, en cambio, sí se puede (véase número cuadrado ):

Algunos números, como el 36, pueden representarse tanto en forma de cuadrado como de triángulo (véase número cuadrado triangular ):

Por convención, el 1 es el primer número poligonal para cualquier número de lados. La regla para aumentar el tamaño del polígono consiste en extender dos lados adyacentes en un punto y luego añadir los lados adicionales necesarios entre esos puntos. En los siguientes diagramas, cada capa adicional se muestra en rojo.

Los números poligonales se diferencian principalmente por la diferencia entre cada número consecutivo. La diferencia entre cada número triangular aumenta en 1 en cada iteración. Para los números cuadrados, la diferencia aumenta en 2. Para los números pentagonales, aumenta en 3.

La diferencia entre cada N comienza en 1 para los números poligonales (y para los números poligonales centrados, la diferencia comienza en 0). Por ejemplo: el primer triangular es 1 y la "diferencia" comienza en 1. Para obtener el siguiente triangular, se incrementa la diferencia en 1 y se suma a la actual. El segundo número triangular es 3, la diferencia es 2. Se incrementa la diferencia nuevamente, es 3. 3+3 es 6, el tercer triangular. La diferencia entre el tercero y el segundo es 3. Dado que los números triangulares son la suma de los primeros N números, esto no es sorprendente; sin embargo, el mismo método se aplica a todos los demás números poligonales.

Con cuadrados para el N-ésimo y diff comenzamos en el primer cuadrado 1 y un diff (o desplazamiento) de 1. Para el siguiente cuadrado la diferencia se incrementa primero en 2: 1+2=3. Luego sumamos la diferencia al cuadrado actual: 1+3=4. El segundo número de cuadrado. Continuando el patrón para Nth+diff: 4+5=9, 9+7=16, 16+9=25. En otras palabras, para el N-ésimo número poligonal la diferencia entre él y el siguiente es X * N + 1. Donde X es el número de lados (comenzando en 1 para triangular).

Si s es el número de lados de un polígono, la fórmula para el n -ésimo número s -gonal P ( s , n ) es

${\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}$

El n -ésimo número s -gonal también está relacionado con los números triangulares T _n de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

De este modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}$

Para un número s -gonal dado P ( s , n ) = x , se puede encontrar n mediante

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}$

y uno puede encontrar s por

${\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {xn}{n-1}}}$.

Todo número hexagonal es también un número triangular.

Demostración sin palabras de que los números hexagonales son números triangulares de lados impares.

Aplicando la fórmula anterior:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$

En el caso de 6 lados se obtiene:

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$

pero puesto que:

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

resulta que:

${\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}}$

Esto demuestra que el n -ésimo número hexagonal P (6, n ) es también el (2 n − 1) -ésimo número triangular T _{2 n −1} . Podemos encontrar todos los números hexagonales simplemente tomando los números triangulares impares: ^{[ 2 ]}

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Los primeros seis valores de la columna "suma de recíprocos", para números triangulares a octogonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también proporciona una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma . ^{[ 3 ]}

La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros evita los términos que utilizan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") y prefiere los que utilizan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (véase A086270 ):

${\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(sk,n),}$

con

${\displaystyle k=0,1,2,3,...,s-3.}$

Algunos números, como el 36, que es a la vez cuadrado y triangular, pertenecen a dos conjuntos poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a la ecuación de Pell . El ejemplo más sencillo de esto es la sucesión de números cuadrados triangulares .

La siguiente tabla resume el conjunto de números s -gonales t -gonales para valores pequeños de s y t .

En algunos casos, como s = 10 y t = 4 , no hay números en ambos conjuntos que no sean el 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Katayama ^{[ 5 ]} demostró que si tres enteros diferentes s , t y u son todos al menos 3 y distintos de 6, entonces solo un número finito de números son simultáneamente s -gonales, t- gonales y u- gonales.

Katayama, Furuya y Nishioka ^{[ 6 ]} demostraron que si el entero s es tal que${\displaystyle s=5}$o${\displaystyle 7\leq s\leq 12}$, entonces el único número triangular cuadrado s -gonal es 1. Por ejemplo, ese artículo dio la siguiente demostración para el caso donde${\displaystyle s=5}$. ^{[ 7 ]} Supongamos que${\displaystyle P(3,n)=P(4,p)=P(5,q)}$para algunos enteros positivos n , p y q . Un cálculo muestra que el punto${\displaystyle (x,y)}$definido por${\displaystyle (x,y)=(48p^{2}+3,24p(2n+1)(6q-1))}$está en la curva${\displaystyle Y^{2}=X^{3}-X^{2}-9X+9}$Ese hecho obliga${\displaystyle (x,y)=(51,360)}$(como lo confirma una base de datos de curvas elípticas ^{[ 8 ]} ), por lo tanto${\displaystyle p=1}$y el resultado es el siguiente.

El número 1225 es hecatonicositetragonal ( s = 124 ), hexacontagonal ( s = 60 ), icosienneagonal ( s = 29 ), hexagonal, cuadrado y triangular.

• Número poligonal centrado
• Número poliédrico
• Teorema de Fermat sobre los números poligonales

• El diccionario Penguin de números curiosos e interesantes , David Wells ( Penguin Books , 1997) [ ISBN] 0-14-026149-4].
• Número poligonal en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Números poligonales" . MathWorld .
• F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2.ª  ed.). Oxford University Press. págs. 88–89 . ISBN  0-19-914-567-9.

• "Número poligonal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Números poligonales: Todos los números poligonales de s elementos entre 1 y 1000 son clicables para 2<=s<=337.
• Números poligonales en la cuadrícula espiral de Ulam en YouTube
• Función de conteo de números poligonales