Cono convexo

Algunos otros autores requieren${\displaystyle [0,\infty )C\subset C}$o incluso${\displaystyle 0\in C}$Algunos requieren que un cono sea convexo y/o satisfaga${\displaystyle C\cap -C\subset \{0\}}$.

El casco cónico de un conjunto${\displaystyle C}$se define como el cono convexo más pequeño que contiene${\displaystyle C\cup \{0\}}$Por lo tanto, no es necesario que sea el cono más pequeño que contiene${\displaystyle C\cup \{0\}}$.

Según el autor, el término " cuña " puede referirse a lo que llamamos conos (cuando "cono" se reserva para algo más fuerte), o simplemente a un subconjunto de ellos.

Un subconjunto${\displaystyle C}$de un espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre un campo ordenado${\displaystyle F}$es un cono (o a veces llamado cono lineal ) si para cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle C}$y escalar positivo${\displaystyle \alpha }$en${\displaystyle F}$, el producto${\displaystyle \alpha x}$está en${\displaystyle C}$. ^{[ 2 ]} Nótese que algunos autores definen cono con el escalar${\displaystyle \alpha }$abarcando todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluyen el 0). ^{[ 3 ]} Algunos autores incluso requieren${\displaystyle 0\in C}$, excluyendo así el conjunto vacío. ^{[ 4 ]}

Por lo tanto,${\displaystyle [0,\infty )}$es un cono,${\displaystyle \varnothing }$es un cono solo según la primera y la segunda definición anteriores, y${\displaystyle (0,\infty )}$Es un cono solo según la primera definición anterior. Todos ellos son convexos (ver más abajo).

Un cono${\displaystyle C}$es un cono convexo si${\displaystyle \alpha x+\beta y}$pertenece a${\displaystyle C}$, para cualquier escalar positivo${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$y cualquier${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$en${\displaystyle C}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Un cono${\displaystyle C}$es convexa si y solo si${\displaystyle C+C\subsetequ C}$.

Este concepto es significativo para cualquier espacio vectorial que permita el concepto de escalar "positivo", como los espacios sobre los números racionales , algebraicos o (más comúnmente) los números reales . También tenga en cuenta que los escalares en la definición son positivos, lo que significa que el origen no tiene por qué pertenecer a${\displaystyle C}$Algunos autores utilizan una definición que garantiza que el origen pertenece a${\displaystyle C}$. ^{[ 7 ]} Debido a los parámetros de escala${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Los conos tienen una extensión infinita y no están limitados.

Si${\displaystyle C}$es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo${\displaystyle \alpha }$y cualquier${\displaystyle x}$en${\displaystyle C}$el vector${\displaystyle \alpha x={\tfrac {\alpha }{2}}x+{\tfrac {\alpha }{2}}x\in C.}$Así pues, un cono convexo es un caso especial de un cono lineal, tal como se definió anteriormente.

De la propiedad anterior se deduce que un cono convexo también puede definirse como un cono lineal cerrado bajo combinaciones convexas , o simplemente bajo la suma . De forma más concisa, un conjunto${\displaystyle C}$es un cono convexo si y solo si${\displaystyle \alpha C=C}$para cada escalar positivo${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle C+C=C}$.

Una cara de un cono convexo${\displaystyle C}$es un subconjunto${\displaystyle F}$de${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle F}$es también un cono convexo, y para cualquier vector${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle C}$con${\displaystyle x+y}$en${\displaystyle F}$,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$ambos deben estar en${\displaystyle F}$. ^{[ 8 ]} Por ejemplo,${\displaystyle C}$en sí mismo es una cara de${\displaystyle C}$El origen${\displaystyle \{0\}}$es un rostro de${\displaystyle C}$si${\displaystyle C}$no contiene ninguna línea (por lo tanto${\displaystyle C}$es "estrictamente convexa" o "saliente", como se define a continuación). El origen y${\displaystyle C}$a veces se les llama las caras triviales de${\displaystyle C}$. Un rayo (el conjunto de múltiplos no negativos de un vector distinto de cero) se llama rayo extremal si es una cara de${\displaystyle C}$.

Dejar${\displaystyle C}$ser un cono cerrado y estrictamente convexo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Supongamos que${\displaystyle C}$es más que solo el origen. Entonces${\displaystyle C}$es la envoltura convexa de sus rayos extremos. ^{[ 9 ]}

Un cono convexo afín es el conjunto resultante de aplicar una transformación afín a un cono convexo. ^{[ 10 ]} Un ejemplo común es la traslación de un cono convexo mediante un punto p : p + C. Técnicamente, tales transformaciones pueden producir conjuntos que no son conos. Por ejemplo, a menos que p = 0 , p + C no es un cono lineal. Sin embargo, se sigue denominando cono convexo afín.

Un hiperplano (lineal) es un conjunto de la forma${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)=c\}}$donde f es un funcional lineal en el espacio vectorial V. Un semiplano cerrado es un conjunto de la forma${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\leq c\}}$o${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\geq c\},}$y de igual modo un semiplano abierto utiliza una desigualdad estricta. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Los semiplanos (abiertos o cerrados) son conos convexos afines. Además (en dimensiones finitas), cualquier cono convexo C que no sea todo el espacio V debe estar contenido en algún semiplano cerrado H de V ; este es un caso especial del lema de Farkas .

Los conos poliédricos son tipos especiales de conos que se pueden definir de varias maneras: ^{[ 13 ] : 256–257}

• Un cono${\displaystyle C}$es poliédrico si es la envoltura cónica de un número finito de vectores (esta propiedad también se denomina finitamente generado ). ^{[ 14 ] [ 15 ]} Es decir, existe un conjunto de vectores ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$de modo que ${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\}}$.
• Un cono es poliédrico si es la intersección de un número finito de semiplanos que tienen 0 en su frontera (la equivalencia entre estas dos primeras definiciones fue demostrada por Weyl en 1935). ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• Un cono${\displaystyle C}$es poliédrico si hay alguna matriz${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$de tal manera que${\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}}$.
• Un cono es poliédrico si es el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales homogéneas. Algebraicamente, cada desigualdad se define por una fila de la matriz.${\displaystyle A}$Geométricamente, cada desigualdad define un semiplano que pasa por el origen.

Todo cono finitamente generado es un cono poliédrico, y todo cono poliédrico es un cono finitamente generado. ^{[ 14 ]} Todo cono poliédrico tiene una representación única como envoltura cónica de sus generadores extremos, y una representación única de intersecciones de semiplanos, dado que cada forma lineal asociada con los semiplanos también define un hiperplano de soporte de una faceta. ^{[ 18 ]}

Cada cara de un cono poliédrico está formada por un subconjunto de sus generadores extremos. Por lo tanto, un cono poliédrico tiene un número finito de caras.

Los conos poliédricos desempeñan un papel fundamental en la teoría de la representación de poliedros . Por ejemplo, el teorema de descomposición para poliedros establece que todo poliedro puede escribirse como la suma de Minkowski de un politopo convexo y un cono poliédrico. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Los conos poliédricos también desempeñan un papel importante en la demostración del teorema de base finita relacionado para politopos, que muestra que todo politopo es un poliedro y todo poliedro acotado es un politopo. ^{[ 19 ] [ 21 ] [ 22 ]}

Las dos representaciones de un cono poliédrico —mediante desigualdades y mediante vectores— pueden tener tamaños muy diferentes. Por ejemplo, consideremos el cono de todos los vectores no negativos.${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$Matrices con sumas de filas y columnas iguales. La representación de desigualdad requiere${\displaystyle n^{2}}$desigualdades y${\displaystyle 2n-1}$ecuaciones, pero la representación vectorial requiere${\displaystyle n!}$vectores (véase el teorema de Birkhoff-von Neumann ). También puede ocurrir lo contrario: el número de vectores puede ser polinomial mientras que el número de desigualdades es exponencial. ^{[ 13 ] : 256}

Las dos representaciones, en conjunto, proporcionan una forma eficiente de decidir si un vector dado pertenece al cono: para demostrar que pertenece al cono, basta con presentarlo como una combinación cónica de los vectores que lo definen; para demostrar que no pertenece al cono, basta con presentar una única desigualdad que lo defina y que viole. Este hecho se conoce como el lema de Farkas .

Un punto sutil en la representación mediante vectores es que el número de vectores puede ser exponencial en la dimensión, por lo que la prueba de que un vector está en el cono podría ser exponencialmente larga. Afortunadamente, el teorema de Carathéodory garantiza que todo vector en el cono puede representarse como máximo por${\displaystyle d}$definiendo vectores, donde${\displaystyle d}$es la dimensión del espacio.

Según la definición anterior, si C es un cono convexo, entonces C ∪ { 0 } también es un cono convexo. Se dice que un cono convexo esapunta si0está enCyromo si0no está enC. ^{[ 2 ] [ 23 ]} Algunosautores usan "puntiagudo" para${\displaystyle C\cap -C=\{0\}}$o sobresaliente (véase más abajo). ^{[ 24 ]}

Los conos romos pueden excluirse de la definición de cono convexo sustituyendo "no negativo" por "positivo" en la condición de α, β.

Un cono se llama plano si contiene algún vector no nulo x y su opuesto −x, lo que significa que C contiene un subespacio lineal de dimensión al menos uno, y saliente (o estrictamente convexo ) en caso contrario. ^{[ 25 ] [ 26 ]} Un cono convexo romo es necesariamente saliente, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Un cono convexo C es saliente si y solo si C ∩ − C ⊆ { 0 }. Se dice que un cono C es generador si${\displaystyle CC=\{xy\mid x\in C,y\in C\}}$es igual a todo el espacio vectorial. ^{[ 27 ]}

Algunos autores requieren que los conos salientes sean puntiagudos. ^{[ 28 ]} El término "puntiagudo" también se usa a menudo para referirse a un cono cerrado que no contiene ninguna línea completa (es decir, ningún subespacio no trivial del espacio vectorial ambiente V , o lo que se llama un cono saliente). ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} El término cono propio ( convexo ) se define de diversas maneras, dependiendo del contexto y del autor. A menudo significa un cono que satisface otras propiedades como ser convexo, cerrado, puntiagudo, saliente y de dimensión completa. ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} Debido a estas definiciones variables, se debe consultar el contexto o la fuente para la definición de estos términos.

Un tipo de cono de particular interés para los matemáticos puros es el conjunto parcialmente ordenado de conos racionales. "Los conos racionales son objetos importantes en la geometría algebraica tórica, el álgebra conmutativa combinatoria, la combinatoria geométrica y la programación entera". ^{[ 35 ]} Este objeto surge cuando estudiamos conos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$junto con la red${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$. Un cono se denomina racional (aquí asumimos "puntiagudo", como se definió anteriormente) siempre que sus generadores tengan coordenadas enteras , es decir, si${\displaystyle C}$es un cono racional, entonces${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{+}\}}$para algunos${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {Z} ^{d}}$.