Grupo poliédrico

En geometría , los grupos poliédricos son los grupos de simetría de los sólidos platónicos .

Existen tres grupos poliédricos:

• El grupo tetraédrico de orden 12, grupo de simetría rotacional del tetraedro regular . Es isomorfo a A ₄ .
  • Las clases de conjugación de T son:
    • identidad
    • 4 × rotación de 120°, orden 3, sentido horario
    • 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido antihorario
    • 3 × rotación de 180°, orden 2
• El grupo octaédrico de orden 24, grupo de simetría rotacional del cubo y del octaedro regular . Es isomorfo a S ₄ .
  • Las clases de conjugación de O son:
    • identidad
    • 6 × rotación de ±90° alrededor de los vértices, orden 4
    • 8 × rotación de ±120° alrededor de los centros de los triángulos, orden 3
    • 3 × rotación de 180° alrededor de los vértices, orden 2
    • 6 × rotación de 180° alrededor de los puntos medios de las aristas, orden 2
• El grupo icosaédrico de orden 60, grupo de simetría rotacional del dodecaedro regular y del icosaedro regular . Es isomorfo a A ₅ .
  • Las clases de conjugación de I son:
    • identidad
    • 12 × rotación de ±72°, orden 5
    • 12 × rotación de ±144°, orden 5
    • 20 × rotación de ±120°, orden 3
    • 15 × rotación de 180°, orden 2

Estas simetrías se duplican a 24, 48 y 120 respectivamente para los grupos de reflexión completos. Las simetrías de reflexión tienen 6, 9 y 15 espejos respectivamente. La simetría octaédrica, [4,3], puede verse como la unión de 6 espejos de simetría tetraédrica [3,3] y 3 espejos de simetría diedral Dih ₂ , [2,2]. La simetría piritoédrica es otra duplicación de la simetría tetraédrica.

Las clases de conjugación de simetría tetraédrica completa, T _d ≅ S ₄ , son:

• identidad
• 8 × rotación de 120°
• 3 rotaciones de 180°
• 6 × reflexión en un plano que pasa por dos ejes de rotación
• 6 × reflexión del rotor por 90°

Las clases de conjugación de simetría piritoédrica, T _h , incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión:

• identidad
• 8 × rotación de 120°
• 3 rotaciones de 180°
• inversión
• 8 × reflexión del rotor por 60°
• 3 × reflexión en un plano

Las clases de conjugación del grupo octaédrico completo, O _h ≅ S ₄ × C ₂ , son:

• inversión
• 6 × reflexión del rotor por 90°
• 8 × reflexión del rotor por 60°
• Reflexión triple en un plano perpendicular a un eje cuádruple.
• Reflexión 6× en un plano perpendicular a un eje de simetría binario.

Las clases de conjugación de simetría icosaédrica completa, I _h ≅ A ₅ × C ₂ , incluyen también cada una con inversión:

• inversión
• 12 × reflexión del rotor por 108°, orden 10
• 12 × reflexión del rotor por 36°, orden 10
• 20 × reflexión del rotor por 60°, orden 6
• 15 × reflexión, orden 2

• Símbolo de Wythoff
• Lista de grupos de simetría esférica

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3.ª ed. Nueva York: Dover, 1973. ( Los grupos poliédricos . §3.5, págs.  46-47 )

• Weisstein, Eric W. "Grupo poliédrico" . MundoMatemático .