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Vértice (geometría)

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En geometría , un vértice ( pl.: vértices ) , también llamado esquina , es un punto donde dos o más curvas , líneas o segmentos de línea se encuentran o se intersecan . Por ejemplo, el punto donde dos líneas se unen formando un ángulo y el punto donde se unen los bordes de polígonos y poliedros son vértices. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Definición

De un ángulo

El vértice de un ángulo es el punto final donde convergen dos líneas o rayos.

El vértice de un ángulo es el punto donde comienzan o se encuentran dos rayos , donde se unen o se encuentran dos segmentos de línea, donde se intersecan (cruzan) dos líneas, o cualquier combinación apropiada de rayos, segmentos y líneas que dé como resultado dos "lados" rectos que se encuentran en un punto. [ 3 ] [ 4 ]

De un politopo

Un vértice (rojo) en un cubo (negro)

Un vértice es un punto de esquina de un polígono , poliedro u otro politopo de dimensión superior , formado por la intersección de aristas , caras o facetas del objeto. [ 4 ]

En un polígono, un vértice se denomina " convexo " si el ángulo interno del polígono (es decir, el ángulo formado por los dos lados del vértice con el polígono dentro del ángulo) es menor que π radianes (180°, dos ángulos rectos ); de lo contrario, se denomina "cóncavo" o "reflejo". [ 5 ] De manera más general, un vértice de un poliedro o politopo es convexo si la intersección del poliedro o politopo con una esfera suficientemente pequeña centrada en el vértice es convexa, y cóncavo en caso contrario.

Los vértices de un politopo están relacionados con los vértices de los grafos , en el sentido de que el 1-esqueleto de un politopo es un grafo, cuyos vértices corresponden a los vértices del politopo, [ 6 ] y en el sentido de que un grafo puede verse como un complejo simplicial unidimensional cuyos vértices son los vértices del grafo.

Sin embargo, en teoría de grafos , los vértices pueden tener menos de dos aristas incidentes, lo cual generalmente no está permitido para los vértices geométricos. También existe una conexión entre los vértices geométricos y los vértices de una curva , sus puntos de curvatura extrema: en cierto sentido, los vértices de un polígono son puntos de curvatura infinita, y si un polígono se aproxima mediante una curva suave, habrá un punto de curvatura extrema cerca de cada vértice del polígono. [ 7 ]

De un plano teselado

Un vértice de un teselado plano es un punto donde se unen tres o más teselas; [ 8 ] generalmente, pero no siempre, las teselas de un teselado son polígonos y los vértices del teselado son también vértices de sus teselas. De manera más general, un teselado puede considerarse como una especie de complejo celular topológico , al igual que las caras de un poliedro o politopo; los vértices de otros tipos de complejos, como los complejos simpliciales, son sus caras de dimensión cero.

vértice principal

Partes de un polígono simple

Un vértice de polígono x i de un polígono simple P es un vértice principal si la diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] interseca el límite de P solo en x (i − 1) y x (i + 1) . Hay dos tipos de vértices principales: orejas y bocas . [ 9 ]

  • Un vértice principal x i de un polígono simple P se denomina oreja si la diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] que une x i se encuentra completamente dentro de P. (véase también polígono convexo ) Según el teorema de las dos orejas , todo polígono simple tiene al menos dos orejas. [ 10 ]
  • Un vértice principal x i de un polígono simple P se llama boca si la diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] se encuentra fuera del límite de P.

Número de vértices de un poliedro

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene características de Euler.

V−mi+F=2,{\displaystyle V-E+F=2,}

donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como la fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de vértices es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de caras. Por ejemplo, dado que un cubo tiene 12 aristas y 6 caras, la fórmula implica que tiene ocho vértices.

Vértices en gráficos por computadora

En gráficos por computadora , los objetos a menudo se representan como poliedros triangulados en los que los vértices del objeto están asociados no solo con tres coordenadas espaciales sino también con otra información gráfica necesaria para renderizar el objeto correctamente, como colores, propiedades de reflectancia , texturas y normal de superficie . [ 11 ] Estas propiedades se utilizan en la renderización por un sombreador de vértices , parte de la canalización de vértices .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Vertex" . MathWorld .
  2. ↑ "Vértices, aristas y caras" . mathsisfun.com . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
  3. 1 2 "¿Qué son los vértices en matemáticas?" . Sciencing . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
  4. 1 2 Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Dover Publications. 
    (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2(vol. 1), ISBN 0-486-60089-0(vol. 2), ISBN 0-486-60090-4(vol. 3).
  5. ↑ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentos de los métodos de elementos discretos para la ingeniería de rocas: teoría y aplicaciones . Elsevier Science.
  6. ↑ Peter McMullen , Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes , Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0(Página 29)
  7. ↑ Bobenko, Alejandro I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M .; Ziegler, Günter M. (2008). Geometría diferencial discreta . Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
  8. ↑ MV Jaric, ed., Introducción a las matemáticas de los cuasicristales ( Aperiodicidad y orden , vol. 2) ISBN 0-12-040602-0, Academic Press, 1989.
  9. ↑ Devadoss, Satyan ; O'Rourke, Joseph (2011). Geometría discreta y computacional . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-14553-2.
  10. ↑ Meisters, GH (1975). "Los polígonos tienen orejas". The American Mathematical Monthly . 82 (6): 648– 651. doi : 10.2307/2319703 . JSTOR 2319703. MR 0367792 .  
  11. ↑ Christen, Martin. "Tutoriales de Clockworkcoders: Atributos de vértice" . Grupo Khronos . Archivado del original el 12 de abril de 2019. Consultado el 26 de enero de 2009 .