Ecuación diofántica polinómica

En matemáticas , una ecuación diofántica polinómica es una ecuación polinómica indeterminada cuyas soluciones se limitan a ser polinomios en la indeterminación. En general, una ecuación diofántica es aquella cuyas soluciones se restringen a algún sistema algebraico, típicamente entero. (En otro contexto) El término diofántico hace referencia al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , quien realizó los primeros estudios sobre ecuaciones diofánticas enteras.

Un tipo importante de ecuaciones diofánticas polinómicas tiene la siguiente forma:

${\displaystyle sa+tb=c}$

donde a , b y c son polinomios conocidos, y deseamos resolver para s y t . 

Un ejemplo sencillo (y una solución) es:

${\displaystyle s(x^{2}+1)+t(x^{3}+1)=2x}$

${\displaystyle s=-x^{3}-x^{2}+x}$

${\displaystyle t=x^{2}+x.}$

Una condición necesaria y suficiente para que una ecuación diofántica polinómica tenga solución es que c sea un múltiplo del máximo común divisor (MCD) de a y b . En el ejemplo anterior, el MCD de a y b era 1, por lo que existirían soluciones para cualquier valor de c.  

Las soluciones a ecuaciones diofánticas polinómicas no son únicas. Cualquier múltiplo de${\displaystyle ab}$(decir${\displaystyle rab}$) se puede utilizar para transformar${\displaystyle s}$y${\displaystyle t}$en otra solución${\displaystyle s'=s+rb}$${\displaystyle t'=t-ra}$:

${\displaystyle (s+rb)a+(t-ra)b=c.}$

Algunas ecuaciones diofánticas polinómicas pueden resolverse utilizando el algoritmo euclidiano extendido , que funciona igual de bien con polinomios que con números enteros.

• Bronstein, Manuel (2005). Integración simbólica I. Springer . pp. 12–14 . ISBN  3-540-21493-3.